Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tìm hiểu quy tắc chia đơn thức cho đơn thức, từ đó ứng dụng giải các dạng toán thường gặp về thu gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, tính giá trị của ẩn thỏa mãn đẳng thức cho trước, chứng minh tính chia hết,…
Quy tắc chia đơn thức cho đơn thức
[content_1]Đơn thức chia hết cho đơn thức
Cho A và B là hai đơn thức, B ≠ 0. Đơn thức A chia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ của B không lớn hơn số mũ của A.
Quy tắc
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
– Chia hệ số của A cho hệ số của B.
– Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B
– Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Thu gọn biểu thức
[content_2]Phương pháp giải
– Sử dụng kiến thức chia hai lũy thừa cùng cơ số: am : an = am–n (m ≥ n; m, n ∈ ℕ).
– Một số trường hợp cần phần tích đa thức bị chia thành nhân tử để rút gọn các nhân tử.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Làm phép tính
a) 9(x – 1)3 : [3(x – 1)2]
b) (–5x + 2)3 : (5x – 2)
c) 272 : (–3)3
d) (x3 – 3x + 2)3 : (x3 – 3x + 2)2
e) ![\[\frac{{{{\left( { - 17} \right)}^4}}}{{{{15}^4}}}:{\left( {\frac{{17}}{{15}}} \right)^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-1.svg)
f) 18(–x)5y2 : (9x2y)
Hướng dẫn giải
a) 9(x – 1)3 : [3(x – 1)2]
= 3(x – 1)3 – 2 = 3(x – 1) = 3x – 3
b) (–5x + 2)3 : (5x – 2)
= –(5x – 2)3 : (5x – 2) = –(5x – 2)2
c) 272 : (–3)3 = 36 : (–3)3 = –33 = –27
d) (x3 – 3x + 2)3 : (x3 – 3x + 2)2
= (x3 – 3x + 2)3 – 2 = x3 – 3x + 2
e) ![\[ = \frac{{{{17}^4}}}{{{{15}^4}}}:{\left( {\frac{{17}}{{15}}} \right)^2} = \frac{{{{17}^2}}}{{{{15}^2}}} = \frac{{289}}{{225}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-2.svg)
f) 18(–x)5y2 : (9x2y) = –2x5 – 2 y2 – 1 = –2x3y
Câu 2. Làm phép tính
a) 3(x + 1)2 : (x + 1)2
b) 6(3x + 2)3 : (3x + 2)2
c) 177 : (–17)3
d) (x2 + 3x + 4)4 : (x2 + 3x + 4)3
e) ![\[\frac{{{7^4}}}{{{{13}^4}}}:{\left( {\frac{7}{{13}}} \right)^2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-3.svg)
f) 16x5y2 : (4x3y)
Hướng dẫn giải
a) 3(x + 1)2 : (x + 1)2
= 3(x + 1)2 – 2 = 3
b) 6(3x + 2)3 : (3x + 2)2 = 6(3x + 2)
c) 177 : (–17)3 = –174
d) (x2 + 3x + 4)4 : (x2 + 3x + 4)3
= x2 + 3x + 4
e) ![\[ = \frac{{{7^2}}}{{{{13}^2}}} = \frac{{49}}{{169}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-4.svg)
f) 16x5y2 : (4x3y) = 4x2y
Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức
[content_3]Phương pháp giải
Sử dụng chia đơn thức cho đơn thức để rút gọn biểu thức, thay giá trị của biến (nếu cần) để tính nhanh giá trị các biểu thức
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 15(x + 2)3 : [3(x + 2)2] tại x = –102
b) (x2 – 3x + 2)3 : [(x – 1)2 ⋅ (x – 2)3] tại x = 101
c) 27x5y3 : (9x3y2) tại x = –3, y = 2
d) x2(x + y)3 : [x2(x + y)2] tại x = –7, y = 3
e) (x + y)2z3 : (z3x + z3y) tại x = 102, y = –2, z = 100
Hướng dẫn giải
a) 15(x + 2)3 : [3(x + 2)2] = 5(x + 2)
Thay x = –102, ta được kết quả là:
5(–102 + 2) = 500
b) (x2 – 3x + 2)3 : [(x – 1)2 (x – 2)3]
= [(x – 1)3 ⋅ (x – 2)3] : [(x – 1)2 ⋅ (x – 2)3] = x – 1
Thay x = 101, ta được kết quả là:
101 – 1 = 100
c) 27x5y3 : (9x3y2) = 3x2y
Thay x = –3, y = 2, ta được kết quả là:
3 ⋅ (–3)2 ⋅ 2 = 54
d) x2(x + y)3 : [x2(x + y)2] = x + y
Thay x = –7, y = 3, ta được kết quả là:
–7 + 3 = –4
e) (x + y)2z3 : (z3x + z3y)
= (x + y)2z3 : (x + y)z3 = x + y
Thay x = 102, y = –2, x = 100, ta được kết quả là:
102 – 2 = 100
Câu 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 21(x + 3)3 : (3x + 9)2 tại x = –6
b) (2x2 – 5x + 3)4 : [(2x – 3)3 ⋅ (x – 1)2] tại x = 2, y = 3
c) 36x4y3 : (–6x3y2) tại x = 10, y = 7
d) y2(x – y)3 : [y2(x – y)2] tại x = 13, y = 3
e) (x – y)2z2 : (z2x – z2y) tại x = 54, y = 4, z = 10
Hướng dẫn giải
a) 21(x + 3)3 : (3x + 9)2 = ![\[\frac{7}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-5.svg)
(x + 3)
Thay x = –6, ta được kết quả là:
(–6 + 3) = –7
b) (2x2 – 5x + 3)4 : [(2x – 3)3 ⋅ (x – 1)2]
= [(2x – 3)4 ⋅ (x – 1)4] : [(2x – 3)3 ⋅ (x – 1)2]
= (2x – 3)(x – 1)2
Thay x = 2, ta được kết quả là:
(2⋅2 – 3)(2 – 1)2 = 1
c) 36x4y3 : (–6x3y2) = –4xy
Thay x = 10, y = 7, ta được kết quả là:
–4 ⋅ 10 ⋅ 7 = –280
d) y2(x – y)3 : [y2(x – y)2] = x – y
Thay x = 13, y = 3, ta được kết quả là:
13 – 3 = 10
e) (x – y)2z2 : (z2x – z2y) = x – y
Thay x = 54, y = 4, z = 10, ta được kết quả là:
54 – 4 = 50
Dạng 3. Tìm giá trị của ẩn thỏa mãn đẳng thức cho trước
[content_4]Phương pháp giải
Thực hiện phép chia đơn thức cho đơn thức để rút gọn và tìm x.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm x, biết:
a) (x – 2)2 = x – 2 với x ≠ 2
b) (7x – 28)3: (7x – 28)2 = 1 với x ≠ 4
c) 18(x – 1)4 = 3(x – 1)3 với x ≠ 1
d) 2 – 15x + 13x2 = (x – 1)2 với ≠ 1
e) 27x3 – 3x = 2(3x)2 – 2 với x ≠ ![\[ \pm \frac{1}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-6.svg)
Hướng dẫn giải
a) (x – 2)2 = x – 2
⇔ x – 2 = 1 ⇔ x = 3
b) (7x – 28)3: (7x – 28)2 = 1
⇔ 7x – 28 = 1
⇔ 7x – 29 ⇔ x = ![\[\frac{{29}}{7}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-7.svg)
c) 18(x – 1)4 = 3(x – 1)3
⇔ 18(x – 1)4 : 3(x – 1)3 = 1
⇔ 6(x – 1) = 1
⇔ x – 1 = ![\[\frac{1}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-8.svg)
⇔ x = ![\[\frac{7}{6}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-9.svg)
d) 2 – 15x + 13x2 = (x – 1)2
⇔ (x – 1)(13x – 2) = (x – 1)2
⇔ 13x – 2 = x – 1
⇔ 12x = 1 ⇔ x = ![\[\frac{1}{{12}}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-10.svg)
e) 27x3 – 3x = 2(3x)2 – 2
⇔ 3x(9x2 – 1) = 2(9x2 – 1)
⇔ 3x = 2 ⇔ x = ![\[\frac{2}{3}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-11.svg)
Câu 2. Tìm x, biết:
a) (x – 3)2 = x – 3 với x ≠ 3
b) (5x – 15)3 : (5x – 15)2 = 1 với x ≠ 3
c) 8(x – 2)4 = 4(x – 2)3 với x ≠ 2
d) 1 – 12x + 11x2 = (x – 1)2 với ≠ 1
e) 8x3 – 2x = 3(2x)2 – 3 với x ≠ ![\[ \pm \frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-12.svg)
Hướng dẫn giải
a) (x – 3)2 = x – 3
⇔ x – 3 = 1 ⇔ x = 4;
b) (5x – 15)3 : (5x – 15)2 = 1
⇔ 5x – 15 = 1
⇔ 5x = 16 ⇔ x = ![\[\frac{{16}}{5}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-13.svg)
c) 8(x – 2)4 = 4(x – 2)3
⇔ 8(x – 2)4 = 4(x – 2)3 = 1
⇔ 2(x – 2) = 1
⇔ x – 2 = ![\[\frac{1}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-14.svg)
⇔ x = ![\[\frac{5}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-15.svg)
d) 1 – 12x + 11x2 = (x – 1)2
⇔ (x – 1)(11x – 1) = (x – 1)2
⇔ 11x – 1 = x – 1
⇔ 10x = 0 ⇔ x = 0
e) 8x3 – 2x = 3(2x)2 – 3
⇔ 2x(4x2 – 1) = 3(4x2 – 1)
⇔ 2x = 3 ⇔ x = ![\[\frac{3}{2}\]](http://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/09/chia-don-thuc-cho-don-thuc-16.svg)
Dạng 4. Chứng minh tính chia hết
[content_5]Phương pháp giải
Để chứng minh biểu thức P chia hết cho biểu thức Q, ta thực hiện chia đơn thức cho đơn thức hoặc phân tích biểu thức P về dạng tích các nhân tử trong đó có ít nhất một nhân tử là biểu thức Q.
Tương tự trường hợp đặc biệt nếu Q là hằng số.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Chứng minh rằng A = [n2(n + 2) + n(n + 2)]4 chia hết cho n2(n + 1)2(n + 2)2 với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải
A = [n2(n + 2) + n(n + 2)]4
= [n(n + 2)(n + 1)]4
= [n(n + 2)(n + 1)]2 ⋅ [n(n + 2)(n + 1)]2
= n2 ⋅ (n + 1)2 ⋅ (n + 2)2 ⋅ [n(n + 2)(n + 1)]2
Suy ra khi phân tích A thành nhân tử thì có nhân tử n2 ⋅ (n + 1)2 ⋅ (n + 2)2 nên A chia hết cho n2(n + 1)2(n + 2)2.
Câu 2. Chứng minh rằng B = (n2 – 2n + 1)3 chia hết cho (n – 1)2 với mọi số nguyên n.
Hướng dẫn giải
Ta có: B = (n2 – 2n + 1)3 = (n – 1)6 = (n – 1)2· (n – 1)4
Suy ra khi phân tích B thành nhân tử thì có nhân tử (n – 1)2 nên B chia hết cho (n – 1)2.
Câu 3. Chứng minh rằng A = 111n + 1 : 111n + 1 chia hết cho 112 với mọi số tự nhiên n.
Hướng dẫn giải
Ta có: A = 111n + 1 – n + 1 = 111 + 1 = 112
Suy ra A chia hết cho 112.
Câu 4. Chứng minh rằng B = 1012n + 1 : 101n chia hết cho 101 với mọi số tự nhiên n.
Hướng dẫn giải
Ta có: B = 1012n + 1 – n = 101n + 1
Suy ra B chia hết cho 101.
Câu 5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì:
a) A = x(x + 5)3 : (x + 5)2 + x2 + x chia hết cho x + 3;
b) B = x4y4 : y3x3 + xy + 2 chia hết cho xy + 1;
c) C = xy(xy + y + 1)3 : (xy + y + 1)2 + xy chia hết cho xy + y + 2.
Hướng dẫn giải
a) A = x(x + 5)3 : (x + 5)2 + x2 + x
= x(x + 5) + x2 + x
= x(x + 5 + x + 1)
= x(2x + 6) = 2x(x + 3)
Suy ra A khi hết cho x + 3.
b) B = x4y4 : y3x3 + xy + 2
= xy + xy + 2
= 2xy + 2 = 2(xy + 1)
Suy ra B chia hết cho xy + 1.
c) C = xy(xy + y + 1)3 : (xy + y + 1)2 + xy
= xy(xy + y + 1) + xy
= xy(xy + y + 2)
Suy ra C chia hết cho xy + y + 2.
