Quy tắc chia đa thức cho đơn thức
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B hay không
Phương pháp giải
Xét xem tất cả các hạng tử của đa thức A có thể chia hết cho đơn thức B hay không (hay đa thức A có thể có nhân tử chung là phần biến của đơn thức B hay không).
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Không làm phép tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B hay không:
a) A = 4x2y3 – 6xy2 + 2y5 và B = 5y2
b) A = ![\[\frac{{12}}{5}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-1.svg)
x6y3 + 5,1x4y7 – ![\[\frac{2}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-2.svg)
xy2 và B = 3xy2
c) A = 2x3y + 3x2y2 + 5xy2 và B = y2
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho y2.
b) Ta thấy A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho xy2.
c) Ta thấy A không chia hết cho B vì hạng tử 2x3y của A không chia hết cho y2.
Ví dụ 2. Không làm phép tính chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đơn thức B hay không:
a) A = x2y4 + 2x2y2 + 5x4 và B = 7x2
b) A = ![\[\frac{5}{6}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-3.svg)
x6y5 – 3,3x3y3 + ![\[\frac{7}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-4.svg)
x6y2 và B = ![\[\frac{1}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-5.svg)
x2y2
c) A = 5xy2 + 4x3y4 + 3x5y6 và B = x2
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho x2.
b) Ta thấy A chia hết cho B vì mỗi hạng tử của A đều chia hết cho x2y2.
c) Ta thấy A không chia hết cho B vì hạng tử 5xy2 của A không chia hết cho x2.
Dạng 2. Thực hiện phép tính chia
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện phép chia
a) (15⋅24 + 7⋅43 – 26) : 23
b) (38 + 4⋅95 – 5⋅273) : 37
Hướng dẫn giải
a) (15⋅24 + 7⋅43 – 26) : 23
= 15⋅24 : 23 + 7⋅26 : 23 – 26 : 23
= 15⋅2 + 7⋅23 – 23
= 30 + 56 – 8 = 78.
b) (38 + 4⋅95 – 5⋅273) : 37
= 38 : 37 + 4⋅310 : 37 – 5⋅39 : 37
= 3 + 4⋅27 – 5⋅9
= 3 + 108 – 45 = 66.
Ví dụ 2. Thực hiện phép chia
a) (7⋅44 – 6⋅43 – 5⋅45) : 43
b) (2⋅57 + 3⋅252 + 56) : 54
Hướng dẫn giải
a) (7⋅44 – 6⋅43 – 5⋅45) : 43
= 7⋅44 : 43 – 6⋅43 : 43 – 5⋅45 : 43
= 7⋅4 – 6 – 5⋅42
= 28 – 6 – 80 = –58.
b) (2⋅57 + 3⋅252 + 56) : 54
= 2⋅57 : 54 + 3⋅54 : 54 + 56 : 54
= 2⋅53 + 3 + 52
= 250 + 3 + 25 = 278
Ví dụ 3. Làm tính chia :
a) (2x4 + 4x3 – x6) : 2x3
b) (x8y8 + 2x5y5 + 7x3y3) : (–x2y2)
c) ![\[\left( {2{x^5}{y^3} - 5{x^3}{y^5} + \frac{3}{4}{x^3}{y^3}} \right):\frac{2}{3}xy\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-6.svg)
d) (9x2y4z – 12x3y2z4 – 4xy3z2) : xyz
Hướng dẫn giải
a) (2x4 + 4x3 – x6) : 2x3
= 2x4 : (2x3) + 4x3 : (2x3) – x6 : (2x3)
= x + 2 – x3
b) (x8y8 + 2x5y5 + 7x3y3) : (–x2y2)
= x8y8 : (–x2y2) + 2x5y5 : (–x2y2) + 7x3y3 : (–x2y2)
= –x6y6 – 2x3y3 – 7xy.
c)
![\[\begin{gathered} = 2{x^5}{y^3}:\frac{2}{3}xy - 5{x^3}{y^5}:\frac{2}{3}xy + \frac{3}{4}{x^3}{y^3}:\frac{2}{3}xy \hfill \\ = 3{x^4}{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}{y^4} + \frac{9}{8}{x^2}{y^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-7.svg)
d) (9x2y4z – 12x3y2z4 – 4xy3z2) : xyz
= 9x2y4z : xyz – 12x3y2z4 : xyz – 4xy3z2 : xyz
= 9xy3 – 12x2yz3 – 4y2z
Ví dụ 4. Làm tính chia :
a) (3y5 + 2y7 – 4y4) : 6y3
b) (2x2y4 + 3x5y6 – 5x7y2) : (–xy)
c) ![\[\left( {\frac{2}{5}{x^4}{y^6} + 2{x^2}{y^4} - \frac{1}{5}{x^4}{y^2}} \right):\frac{4}{5}{x^2}{y^2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-8.svg)
d) (3x3y2z2 + 5x4y5z3 + 6x6y4z7) : x3yz2
Hướng dẫn giải
a) (3y5 + 2y7 – 4y4) : 6y3
= 3y5 : 6y3 + 2y7 : 6y3 – 4y4 : 6y3
= y2 + ![\[\frac{1}{3}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-9.svg)
y4 – y
b) (2x2y4 + 3x5y6 – 5x7y2) : (–xy)
= 2x2y4 : (–xy) + 3x5y6 : (–xy) – 5x7y2 : (–xy)
= –2xy3 – 3x4y5 + 5x6y
c)
![\[\begin{gathered} = \frac{2}{5}{x^4}{y^6}:\frac{4}{5}{x^2}{y^2} + 2{x^2}{y^4}:\frac{4}{5}{x^2}{y^2} - \frac{1}{5}{x^4}{y^2}:\frac{4}{5}{x^2}{y^2} \hfill \\ = \frac{1}{2}{x^2}{y^4} + \frac{5}{2}{y^2} - \frac{1}{4}{x^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-10.svg)
d) (3x3y2z2 + 5x4y5z3 + 6x6y4z7) : x3yz2
= 3x3y2z2 : x3yz2 + 5x4y5z3 : x3yz2 + 6x6y4z7 : x3yz2
= 3y + 5xy4z + 6x3y3z5
Dạng 3. Bài toán chia đa thức cho đơn thức áp dụng hằng đẳng thức
Vận dụng các hằng đẳng thức đã học để thực hiện.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Làm tính chia
a) [(x – y)3 – (x – y)2 + (x – y)] : (y – x)
b) [3(2x + y)2 + 5(2x + y)5 – 6(2x + y)3] : (2x + y)2
c) (3x + 4y)3 : (6x + 8y)
d) (8x3 + 27y3) : (2x + 3y)
Hướng dẫn giải
a) [(x – y)3 – (x – y)2 + (x – y)] : (y – x)
= –[(x – y)(x – y)2 – (x – y) + 1] : (x – y)
= –[(x – y)2 – (x – y) + 1]
= –(x – y)2 + (x – y) – 1
b) [3(2x + y)2 + 5(2x + y)5 – 6(2x + y)3] : (2x + y)2
= [(2x + y)2 + (3 + 5(2x + y)3 – 6(2x + y)] : (2x + y)2
= 3 + 5(2x + y)3 – 6(2x + y)
c) (3x + 4y)3 : (6x + 8y)
= (3x + 4y)3 : [2(3x + 4y)]
= (3x + 4y)2
d) (8x3 + 27y3) : (2x + 3y)
= (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) : (2x + 3y)
= 4x2 – 6xy + 9y2
Ví dụ 2. Làm tính chia
a) [4(x – y)4 – (x – y)5 + 3(x – y)3] : (y – x)2
b) [2(x + y)4 – 2(x + y)3 + (x + y)2] : 3(x + y)2
c) 3(2x – y)3 : (4x – 2y)
d) (64x3 – y3) : (4x – y)
Hướng dẫn giải
a) [4(x – y)4 – (x – y)5 + 3(x – y)3] : (y – x)2
= [(x – y)2⋅4(x – y)2 – (x – y)3 + 3(x – y)] : (x – y)2
= 4(x – y)2 – (x – y)3 + 3(x – y).
b) [2(x + y)4 – 2(x + y)3 + (x + y)2] : 3(x + y)2
= [(x + y)2⋅2(x + y)2 – 2(x + y) + 1] : 3(x + y)2
= [2(x + y)2 – 2(x + y) + 1]
c) 3(2x – y)3 : (4x – 2y)
= 3(2x – y)3 : [2(2x – y)]
= ![\[\frac{3}{2}\]](https://danchuyentoan.com/wp-content/uploads/2023/10/chia-da-thuc-cho-don-thuc-11.svg)
(2x – y)2
d) (64x3 – y3) : (4x – y)
= (4x – y)(16x2 + 4xy + y2) : (4x – y)
= 16x2 + 4xy + y2
Dạng 4. Tìm giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tìm n ∈ ℕ* để mỗi phép chia sau là phép chia hết:
a) (6x3 + 3x2 – x) : xn
b) (5x5y4 – 2x3y2 + x4y5) : 3xnyn
Hướng dẫn giải
a) Để (6x3 + 3x2 – x) : xn là phép chia hết thì từng hạng tử của 6x3 + 3x2 – x phải chia hết cho xn.
Để x chia hết cho xn thì n ≤ 1 suy ra n = 1.
b) Để (5x5y4 – 2x3y2 + x4y5) : 3xnyn là phép chia hết thì từng hạng tử của 5x5y4 – 2x3y2 + x4y5 phải chia hết cho xnyn.
Để 2x3y2 chia hết cho xnyn thì n ≤ 2, suy ra n ∈ {1; 2}
Ví dụ 2. Tìm n ∈ ℕ* để mỗi phép chia sau là phép chia hết:
a) (277 + 5y4 + 4y) : yn
b) (3x7y7 – 4x6y6 – 5x3y3) : 2xnyn
Hướng dẫn giải
a) Để (277 + 5y4 + 4y) : yn là phép chia hết thì từng hạng tử của 277 + 5y4 + 4y phải chia hết cho yn.
Để 4y chia hết cho yn thì y ≤ 1 suy ra n = 1.
b) Để (3x7y7 – 4x6y6 – 5x3y3) : 2xnyn là phép chia hết thì từng hạng tử của 3x7y7 – 4x6y6 – 5x3y3 phải chia hết cho xnyn.
Để 5x3y3 chia hết cho xnyn thì n ≤ 3, suy ra n ∈ {1; 2; 3}
