Bài viết giúp bạn đọc tìm hiểu công thức tính thể tích khối chóp. Từ đó ứng dụng giải các dạng bài tập theo mỗi khối chóp khác nhau như khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy, khối chóp có hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy, khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy, khối chóp đều, …
Thể tích khối chóp
[content_1]Công thức
Thể tích khối chóp được tính bằng một phần ba tích của chiều cao nhân với diện tích đáy. Công thức tổng quát: V = 1/3.Sh, Trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao.
Nhận xét
– Thể tích khối chóp bằng một phần ba thể tích hình lăng trụ có chung đáy và chiều cao với hình chóp.
– Có sự tương đồng giữa công thức thể tích khối chóp với công thức diện tích tam giác (nửa tích chiều cao và cạnh đáy) khi mở rộng từ không gian hai chiều lên không gian 3 chiều.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy
[content_2]Phương pháp giải
– Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.
– Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là SBA = 30°.
⟹ Chọn A
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC đều cạnh a nên
⇒ Diện tích đáy:
Thể tích khối chóp:
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có: AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD)
Nên (SB, (ABCD)) = SBA = 60°;
SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD
Tính được
⟹ Chọn A
Câu 4. Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, , (a > 0) và đường cao . Tính thể tích khối tứ diện theo a.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Thế tích khối tứ diện
⟹ Chọn A
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° cạnh SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có ∆ABC đều nên AC = a.
Có:
Suy ra
Mặt khác
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng , BAD = 120° và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Do đáy ABCD là hình thoi có BAD = 120° nên các tam giác ABC, ADC đều cạnh .
Gọi H là trung điểm của BC, ta có:
AH ⊥ BC, SA ⊥BC ⇒ BC ⊥ SH
Do đó: ((SBC); (ABCD)) = (AH; SH) = SHA = 60°
Tam giác SAH vuông tại A:
Ta có:
Suy ra:
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BAC = 60°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A. V = 2a3
B. V = 3a3
C. V = a3
D. V = 4a3
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC có:
⟹ Chọn A
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có góc BAC = 30°, SA = a, SCA = 45° và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:
A. 0,01
B. 0,05
C. 0,08
D. 1
Hướng dẫn giải
Ta có SCA = 45°
⇒ AC = SA.tanSCA = a
Vậy
⟹ Chọn C
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số gần nhất giá trị nào dưới đây:
A. 0,25
B. 0,5
C. 0,75
D. 1,5
Hướng dẫn giải
Ta có: SABCD = AB.AD = 2a2
(SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD)
(SAB) ⋂ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD)
Ta có:
AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB)
⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AHD)
⇒ SB ⊥ HD.
Ta có:
⇒ AH = AD = a
Xét tam giác SAB vuông tại S có:
Vậy
⟹ Chọn C
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a, BAC = 120°. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Khi đó SF ⊥ BC, suy ra
((SBC), (ABC)) = SFA = 60°
⟹ Chọn A
Dạng 2. Khối chóp có hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy
[content_3]Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, , H là trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp a.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
⇒ SH ⊥ (ABCD)
⇒ SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD
Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)
⇒ (SD, ABCD) = (SD, HD) = SDH = 60°
⇒
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có: (SC, (ABC)) = SCH = 60°
⟹ Chọn B
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45°, đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a , góc ABC = 60° và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Tam giác ABC vuông tại A:
Tam giác AHC vuông tại H:
SCH = (SC, (ABC)) = 45°.
Xét tam giác SHC vuông tại H:
⟹ Chọn A
Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 2a, AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc giữa cạnh bên SA và mp (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V = 3a3
B. V = a3
C. V = 4a3
D. V =
Hướng dẫn giải
Ta có: SH ⊥ (ABC)
⇒ Góc giữa SA và (ABC) là SAH = 60°
Vậy
⟹ Chọn C
Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Hai tam giác vuông AMD và DAC có nên đồng dạng,
Suy ra ADH = DCH, mà ADH + HDC = 90° ⇒ DHC = 90°
∆ADC vuông tại D:
Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC
Suy ra:
∆DHC vuông tại H:
Do đó diện tích
Thể tích khối chóp
⟹ Chọn C
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, , ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
Theo giả thiết có SG ⊥ (ABC)
Xét tam giác ABC vuông tại B
Có
Ta có
Xét tam giác SGE vuông tại G có
Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
⟹ Chọn A
Câu 7. Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M dựng đường thẳng vuông góc (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho . Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD lần lượt là x, y, z. Giá trị là:
A. −17,2
B. −247,6
C. 8,4
D. 5,2
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
⇒ SG ⊥ (ABC)
Xét tam giác ABC vuông tại B có
Do ABC vuông tại B nên:
Vậy
⟹ Chọn B
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số gần nhất giá trị nào dưới đây:
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
Hướng dẫn giải
SABCD = a2
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.
Kẻ SH ⊥ MN
Ta có: CD ⊥ MN, CD ⊥ SN
⇒ CD ⊥ (SMN)
⇒ CD ⊥ SH mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Ta có SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân tại S
⇒
Tam giác SMN có:
⇒ Tam giác SMN vuông tại S ⇒
Do vậy
⟹ Chọn B
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60°, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng V. Giá trị là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có BAC = 60° nên tam giác ABC đều
Gọi O = AC ⋂ BD.
Ta có AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ (SBD)
⇒ AC ⊥ SO. Mặt khác OB ⊥ AC
⇒ ((SAC), (ABCD)) = SOB = 45°
Xét tam giác SOG vuông tại G:
Vậy
⟹ Chọn C
Dạng 3. Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
[content_4]Phương pháp giải
Để xác định đường cao hình chóp ta vận dụng định lí sau:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết và SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B. V = a3
C.
D.
Hướng dẫn giải
Kẻ SH vuông góc BC suy ra SH vuông góc mp (ABC)
⟹ Chọn D
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là y. Giá trị x, y thoả mãn bất đẳng thức nào dưới đây:
A. x2 + 2xy − y2 > 160
B. x2 − 2xy + 2y2 < 109
C. x2 + xy − y4 < 145
D. x2 − xy + y4 > 125
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ABC đều và (SAB) ⊥ (ABCD)
Xét ∆ABC đều:
Ta có:
Gọi AN ∩ HD = {K} ta có MK là đường trung bình của ∆DHS
Thay vào các đáp án
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB.
∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà
(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên
Suy ra
⟹ Chọn B
Câu 4. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60°, AD = a. Thể tích tứ diện ABCD là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)
Suy ra: (AD, (BCD)) = ADH = 60°
Ta có
Suy ra
⟹ Chọn C
Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Kẻ SH ⊥ BC vì mp (SAC) ⊥ mp (ABC) nên SH ⊥ mp (ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết SIH = SJK = 45°
Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI ⊥ HJ.
Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là đường phân giác của ∆ABC từ đó suy ra H là trung điểm của AC.
⟹ Chọn A
Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:
⟹ Chọn C
Câu 7. Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có
Ta để ý: ∆ABC = ∆DBC ⇒ AH = DH
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H.
Suy ra: mà
Do đó:
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90°; ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do đó:
⟹ Chọn B
Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết , SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết ta có SM ⊥ (ABCD)
MC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là SCM = 60°
Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có:
mà ABCD là hình vuông nên MC = MD
Lại có
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, . Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB
Do (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)
Do SAB là tam giác đều cạnh a nên
Thể tích khối chóp S.ABC là
⟹ Chọn C
Dạng 4. Khối chóp đều
[content_5]Phương pháp giải
Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
Kết quả: Trong hình chóp đều
– Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy
– Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau
– Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Chú ý:
– Đề bài cho hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) ta hiểu là hình chóp đều
– Hình chóp tam giác đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều vì hình chóp tam giác đều thì bản thân nó có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nói một cách khác, hình chóp tam giác đều thì suy ra hình chóp có đáy là tam giác đều nhưng điều ngược lại là không đúng
– Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Vì S.ABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều tâm G và SG ⊥ (ABC)
Tam giác ABC đều cạnh a nên
Có AG là hình chiếu của AS trên (ABC) nên góc giữa cạnh bên SA với đáy là (SA, AG) = SAG = 60° (vì SG ⊥ AG ⇒ SAG nhọn)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
Trong tam giác SAG có SG = AG.tan60° = a
Vậy
⟹ Chọn B
Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm2, diện tích một mặt bên là cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. cm3
B. cm3
C. cm3
D. 4cm3
Hướng dẫn giải
Ta có SABCD = 16cm2 ⇒ CD = 4cm
Xét ∆SOH vuông tại O có:
Vậy:
⟹ Chọn C
Câu 3. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng và tạo với mặt phẳng đáy góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi G là trọng tâm ∆ABC
⇒ SG ⊥ (ABC)
Xét ∆SGA vuông tại G có:
∆ABC đều
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Do ABC đều nên
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều
⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)
⇒ (SBC) ⊥ (SAM)
nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM
⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°
Xét tam giác SGM vuông tại M có:
Do vậy
⟹ Chọn D
Câu 5. Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 6. Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi O là tâm của ∆ABC
⇒ DO ⊥ (ABC)
∆DOC vuông có:
⟹ Chọn B
Câu 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O; SO ⊥ (ABCD);
Diện tích hình vuông ABCD
⇒ S.ABCD = (2a2) = 4a2; ∆SAO vuông tại O có
Thể tích khối chóp S.ABCD:
⟹ Chọn C
Câu 8. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Dựng SO ⊥ (ABCD).
Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD
⇒ ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông.
Ta có:
Vậy
⟹ Chọn B
Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC, AH là hình chiếu của SA lên mp (ABC) nên (SAH) = 60°
Ta có:
Vậy
⟹ Chọn A
Câu 10. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích hình chóp.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
. Tính AO. Từ đó suy ra được AH
⇒ Cạnh của tam giác đáy đều.
⟹ Chọn A
Dạng 5. Tỉ lệ thể tích
[content_6]Phương pháp giải
Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót. Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:
Cách 1:
– Xác định đa giác đáy
– Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)
– Tính thể tích khối chóp theo công thức
Cách 2
– Xác định đa giác đáy
– Tính các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho.
Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ áp dụng cho khối chóp (tứ diện))
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Ta có:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có: và SA = a
∆ABC cân có:
Vậy:
Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm, ta có:
Vậy:
⟹ Chọn A
Câu 2. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Tính
Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (ACD)
⇒ AB ⊥ EC
Ta có: DB ⊥ EC
⇒ EC ⊥ (ABD)
Tính VDCEF: Ta có:
(*)
Mà DE.DA = DC2, chia cho DA2 ⇒
Tương tự:
Từ (*) ⇒ . Vậy
⟹ Chọn B
Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Hướng dẫn giải
Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
Mà
Do đó:
Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi I = SO ∩ AM. Ta có (AEMF) // BD ⇒ EF // BD
với SABCD = a2
∆SOA có:
Phân chia chóp tứ giác ta có:
Do đó: VS .AEMF = VSAMF + VSAME = 2VSAMF; VS.ABCD = 2VSACD = 2VS.ABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
; ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
⟹ Chọn D
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Ta có BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’; SB ⊥ AB’.
Suy ra: AB’ ⊥ (SBC) nên AB’ ⊥ SC. Tương tự AD’ ⊥ SC.
Vậy SC ⊥ (AB’D’)
Tính VS.AB’C’D’
Tính VS.AB’C’: Ta có: (*)
∆SAC vuông cân nên
Ta có:
Từ (*) ⇒
Ta có:
⟹ Chọn A
Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và S.ABCD.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi O = AC ∩ BD. Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy tại I và I là trung điểm của SO.
Kẻ OC” // AC’. Ta có SC’ = C’C” = C”C nên
Ta có
Tương tự ta cũng có:
Vậy
⟹ Chọn C
Câu 7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Ta có AB’ ⊥ SB, AB’ ⊥ CB ⇒ AB’ ⊥(SBC)
⇒ AB’ ⊥ SC (a)
Tương tự AD’ ⊥ SC (b)
Từ (a) và (b) suy ra SC ⊥ (AB’C’D’) ⇒ SC ⊥ AC’
Do tính đối xứng, ta có VSAB’C’D’ = 2VSAB’C’
Vậy
⟹ Chọn D
Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC = 60°, ASC = 90°. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng V. Tỉ số là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm SC, ta có SM = a
⇒ ∆SAM vuông cân tại S. Gọi H là trung điểm của AM.
Ta có
Ta có SM = BM = a và BSC = 60° ⇒ ∆BSM đều ⇒ BM = a ⇒ ∆BSM đều
Ta có AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân tại B.
Mặt khác: AB2 + BM2 = 2a2 và AM2 = 2a2 ⇒ AB2 + BM2 = AM2
⇒ ABM vuông cân tại B (định lý pitago đảo) ⇒
Ta có
⇒ ∆SHB vuông cân tại H (định lý pitago đảo)
Ta có SH ⊥ AM, SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ (ABM)
⟹ Chọn B
*Cách khác: Sử dụng công thức giải nhanh
Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và ASB =α, BSC = β, ASC = γ.
Thể tích khối chóp S.ABC là:
Áp dụng vào bài này ta được:
⟹ Chọn B
Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:
A. 0,11
B. 0,13
C. 0,7
D. 0,9
Hướng dẫn giải
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ (ABCD). Gọi N là trung điểm CD
Kẻ CM ⊥ SD. Ta có
Nên mặt phẳng (P) là (ACM)
Xét tam giác SON vuông tại N có:
Xét tam giác SOD vuông tại O có:
Ta có
Xét tam giác MCD vuông tại M có:
Ta có:
Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và S.ABCM
Do đó:
⟹ Chọn A
Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Mặt phẳng (P) qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là .
Chứng minh:
Ta có:
Ta có:
Do vậy:
Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 30°. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều
⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC, mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)
⇒ (SBC) ⊥ (SAM)
nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM
⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°
Kẻ MN ⊥ SA, ta có BC ⊥ (SAM) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ SA ⊥ (NBC) nên mặt phẳng (P) là (NBC).
Xét tam giác SGM vuông tại M có:
Xét tam giác SGA vuông tại G có:
Xét tam giác SNM vuông tại N có:
Ta có:
Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành 2 khối SNBC và NABC
Do vậy
⟹ Chọn A