Bài viết sẽ giúp bạn đọc tổng hợp một số dạng bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian thuộc chương trình toán lớp 12. Ở mỗi dạng toán đều sẽ có phương pháp giải và các ví dụ có Hướng dẫn giải chi tiết, từ đó giúp độc giả nắm bắt nội dung một cách nhanh chóng nhất.
Hệ trục tọa độ Oxyz
Dạng 1. Tọa độ của vectơ và các tính chất
[content_1]Phương pháp giải
Định nghĩa:
Tính chất: Cho
–
–
–
–
– cùng phương
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho . Tọa độ vectơ là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có:
Suy ra
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ . Tọa độ vectơ thỏa mãn là
A. (–4; 2; –7)
B. (–4; 2; 3)
C. (–4; 12; –7)
D. (–4; 12; –3)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có
Ta có:
Suy ra
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Giả sử
Ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được:
Vậy
Dạng 2. Tìm tọa độ điểm
[content_2]Phương pháp giải
Định nghĩa: (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ)
Chú ý:
M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0.
M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0.
Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –3; 2), B(0; 1; –1) và C(5; –1; 2). Tọa độ là trọng tâm G của tam giác ABC là
A. G(2; –1; 1)
B. G(2; 1 ;1)
C. G(2; 1; –1)
D. G(–2; 1; –1)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Vậy G(2; –1; 1)
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; –2), B(2; 1; –1) và C(1; –3; 3) và điểm M thỏa mãn hệ thức . Tìm tọa độ điểm M .
A. (0; –5; –6)
B. (0; –5; 2)
C. (0; –10; 12)
D. (0; –5; 4)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Ta có:
Gọi
Vậy M(0; –10; 12)
Dạng 3. Tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ
[content_3]Phương pháp giải
Định nghĩa
Trong không gian Oxyz cho hai vectơ
– Tích vô hướng của hai vectơ:
– Tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là , được xác định bởi
Chú ý
Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
Tính chất
–
–
–
–
– cùng phương
Ứng dụng của tích có hướng
– Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng
– Diện tích hình bình hành ABCD:
– Diện tích tam giác ABC:
– Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’:
– Thể tích tứ diện ABCD:
– Góc giữa hai vectơ:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho . Phát biểu nào sau đây sai?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: không vuông góc nhau.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho . Tìm tham số m để
A. m = 2
B. m = –2
C. m = 0
D. m = –1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Ta có:
Phương trình mặt cầu
Dạng 1. Xác định tọa độ tâm và bán kính mặt cầu. Nhận biết phương trình mặt cầu
[content_4]Phương pháp giải
Dạng chính tắc: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2, có tâm I(a; b; c), bán kính R
Dạng khai triển: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0), có tâm I(a; b; c), bán kính
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 5 là:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Mặt cầu có tâm I(–2; 3; 0) và bán kính là
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 4z – 25 = 0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu (S).
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Từ phương trình ta có: a = 1, b = –2, c = 2, d = –25
Suy ra (S) tâm I(1; –2; 2);
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z + 5 = 0. Tính diện tích mặt cầu (S).
A. 42π
B. 36π
C. 9π
D. 12π
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính
Diện tích mặt cầu (S): S = 4πR2 = 4π32 = 36π
Dạng 2. Lập phương trình mặt cầu khi biết một số yếu tố cho trước
[content_5]Phương pháp giải
Xác định được tâm và bán kính, hoặc là các hệ số a,b, c, d
Mặt cầu có tâm I(a; b; c), bán kính R thì có phương trình chính tắc là:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A
– Tính bán kính
– Viết phương trình mặt cầu.
Mặt cầu có đường kính AB
– Tìm tọa độ tâm I (trung điểm của đoạn AB)
– Tính bán kính
– Viết phương trình mặt cầu.
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD (hoặc là: Mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D có tọa độ cho trước)
– Gọi mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0)
– Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào phương trình mặt cầu, lập được hệ 4 phương trình 4 ẩn a, b, c, d
– Kết luận phương trình cần lập.
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
– Tính bán kính
– Viết phương trình mặt cầu: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với đường thẳng (∆):
– Xác đinh tọa độ điểm M(x0; y0; z0) và vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆)
– Tính bán kính
– Viết phương trình mặt cầu.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(–1; 4; 2) và bán kính R = 9. Phương trình của mặt cầu (S) là:
A. (x + 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 81
B. (x + 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 9
C. (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 9
D. (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z + 2)2 = 81
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 4; 2) và bán kính R = 9 nên (S) có phương trình:
(x + 1)2 + (y – 4)2 + (z – 2)2 = 81
Câu 2. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(–1; 2; 0) và đi qua điểm A(2; –2; 0) là
A. (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 100
B. (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 5
C. (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 10
D. (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 25
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: Tâm I(–1; 2; 0) và bán kính
Vậy phương trình mặt cầu có dạng: (x + 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 25
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(–2; 1; 0), B(2; –1; 2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là
A. x2 + y2 + (z – 1)2 = 12
B. x2 + y2 + (z – 1)2 = 36
C. x2 + y2 + (z – 1)2 = 24
D. x2 + y2 + (z – 1)2 = 6
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi I là trung điểm của AB khi đó
Mặt cầu đường kính AB nhận điểm I(0; 0; 1) làm tâm và bán kính có phương trình là: x2 + y2 + (z – 1)2 = 6
Câu 4. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(–1; 0; 3), D(1; 2; 3). Tính bán kính R của (S)
A.
B. R = 3
C. R = 6
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Giả sử phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 – d > 0)
Vì (S) đi qua 4 điểm A(2; 0; 0), B(1; 3; 0), C(–1; 0; 3), D(1; 2; 3) nên ta có hệ phương trình:
Câu 5. Trong không gian Oxyz cho điểm I(–1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 4x + y – z – 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
A. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2
B. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 4
C. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 2
D. (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Gọi (S) là mặt cầu tâm I, bán kính R và (S) tiếp xúc với (P): 4x + y – z – 1 = 0
Ta có
Vậy mặt cầu (S) có phương trình: (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2
Phương trình mặt phẳng
Dạng 1. Tìm một VTPT của mặt phẳng
[content_6]Phương pháp giải
Định nghĩa: Vectơ , có giá vuông góc với (P) ⇒ là 1 VTPT của (P)
Chú ý:
– Nếu là một VTPT của mặt phẳng (P) thì cũng là một VTPT của mp (P)
– Nếu mp (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một VTPT là
– Nếu (P) có cặp không cùng phương với nhau và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) thì là một VTPT của (P).
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 3x + 2y – 4z + 1 = 0. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α)?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A = 3, B = 2, C = –4, D = 1
Suy ra (α) có là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Câu 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3z + 4 = 0. Vectơ nào dưới đây có giá vuông góc với mặt phẳng (P)?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng (P) vì là một vectơ pháp tuyến của (P).
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; –1; 3), B(4; 0; 1) và C(–10; 5; 3). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có:
⇒ (ABC) có một vectơ pháp tuyến là
Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng
[content_7]Phương pháp giải
Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.
– Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(x0; y0; z0) và nhận vectơ làm VTPT có phương trình dạng (α): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 hay (α): Ax + By + Cz + D = 0
– Mặt phẳng (α) đi qua điểm ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình theo đoạn chắn:
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 1 điểm M(x0; y0; z0) và song song với 1 mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 cho trước.
– VTPT của (β) là
– Vì (α) // (β) nên VTPT của mặt phẳng (α) là
– Phương trình mặt phẳng (α): A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
– Tìm tọa độ các vectơ:
– Vectơ pháp tuyến của (α) là:
– Điểm thuộc mặt phẳng là A (hoặc B hoặc C)
– Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β)
– Tìm VTPT của (β) là
– Tìm tọa độ vectơ
– VTPT của mặt phẳng (α) là
– Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ mặt phẳng Oxyz, phương trình nào được cho dưới đây là phương trình mặt phẳng (Oyz)?
A. x = y + z
B. y – z = 0
C. y + z = 0
D. x = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Mặt phẳng (Oyz) đi qua O(0; 0; 0) và nhận làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (Oyz) là x = 0
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; –2), B(3; 1; 2). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
A. 2x + 3y + 4 = 0
B. x – 2y + 2z = 0
C. x – 2y + 2z + 8 = 0
D. x – 2y + 2z + 4 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có: là một VTPT của mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB.
Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I(2; 3; 0).
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua điểm I và có VTPT nên có phương trình là: 2(x – 2) – 4(y – 3) + 4(z – 0) = 0 ⇔ x – 2y + 2z + 4 = 0
Câu 3. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (α): x – y + 2z – 1 = 0 có phương trình là
A. x + y = 0
B. x + 2y = 0
C. x – y = 0
D. x+ y – 1 = 0
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Mặt phẳng (α): x – y + 2z – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến
Trên trục Oz có vectơ đơn vị
Mặt phẳng chứa trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (α) là mặt phẳng qua O và nhận làm vectơ pháp tuyến.
Do đó có phương trình –x – y = 0 ⇔ x + y = 0
Dạng 3. Điểm thuộc mặt phẳng
[content_8]Phương pháp giải
Điểm M(x0; y0; z0) ∈ (P): Ax + By + Cz + D = 0 ⇔ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng (P): 2x – y + z – 2 = 0?
A. Q(1; –2; 2)
B. P(2; –1; –1)
C. M(1; 1; –1)
D. N(1; –1; –1)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Thay toạ độ điểm Q vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.1 – (–2) + 2 – 2 = 4 ≠ 0 nên Q ∉ (P)
Thay toạ độ điểm P vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.2 – (–1) + (–1) – 2 = 2 ≠ 0 nên P ∉ (P)
Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.1 – 1 + (–1) – 2 = –2 ≠ 0 nên M ∉ (P)
Thay toạ độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2.1 – (–1) + (–1) – 2 = 0 nên N ∈ (P)
Câu 2. Trong không gian Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x – y + 3z – 7 = 0 và (β): x – 2y + z – 2 = 0. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
A. Q(2; –1; 3)
B. M(1 ; 0; –3)
C. P(–1; 0; 3)
D. N(1; –2; 1)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Điểm
Phương trình đường thẳng
Dạng 1. Tìm một VTCP của đường thẳng
[content_9]Phương pháp giải
Định nghĩa: Vectơ , có giá song song hoặc trùng với d ⇒ là 1 VTCP của đường thẳng d.
Chú ý:
Nếu là một VTCP của đường thẳng d thì là một VTCP của đường thẳng d
– Nếu ∆ có trình tham số của dạng: thì ∆ có 1 VTCP là
– Nếu a1a2a3 ≠ 0 thì được gọi là phương trình chính tắc.
– Nếu ∆ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d thì ∆ có 1 VTCP là
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d: . Một vectơ chỉ phương của ∆ là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo phương trình tham số của đường thẳng ∆ thì ta thấy có một vectơ chỉ phương là
Câu 2. Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: ?
A. (2; –1; 3)
B. (2; 1; 3)
C. (1; –2; 0)
D. (1; 2; 0)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Theo phương trình chính tắc của đường thẳng d thì ta thấy d có một vectơ chỉ phương là (2; –1; 3)
Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d song song với trục Oy. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Vì đường thẳng d song song với trục Oy nên vectơ chỉ phương của d cùng phương với vectơ đơn vị
Vậy đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
Câu 4. Trong không gian Oxyz, đường thẳng qua hai điểm M(–2; 1; 2), N(3; –1; 0) có một vectơ chỉ phương là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đường thẳng đi qua hai điểm M(–2; 1; 2) và N(3; –1; 0) nhận làm một VTCP
Vậy cũng là một VTCP của đường thẳng đã cho.
Dạng 2. Viết phương trình của đường thẳng
[content_10]Phương pháp giải
Xác định một điểm cố định M(x0; y0; z0) thuộc ∆
Xác định một vectơ chỉ phương của ∆
Viết phương trình đường thẳng:
– Phương trình tham số của ∆ có dạng:
– Phương trình chính tắc của ∆ có dạng:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: . Phương trình chính tắc của d là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có:
Do đó phương trình chính tắc của d là:
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, trục Ox có phương trình tham số là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là
Câu 3. Trong không gian Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2; –1; 3) và có vectơ chỉ phương là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương với a.b.c ≠ 0 là nên phương trình đường thẳng cần tìm là
Câu 4. Cho điểm A(1; 2; 3) và hai mặt phẳng (P): 2x + 2y + z + 1 = 0, (Q): 2x – y + 2z – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua A song song với cả (P) và (Q) là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Ta có (P): 2x + 2y + z + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
(Q): 2x – y + 2z – 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là
Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
Do đường thẳng d song song với (P) và (Q)
Nên
Mặt khác đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc của d là
Dạng 3. Tìm điểm thuộc đường thẳng và giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
[content_1]Phương pháp giải
Phương trình tham số của d:
Điểm M ∈ d ⇔ M(x0 + a1t; y0 + a2t; z0 + a3t)
M ∈ (P) ⇔ A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0
Từ đó suy ra t rồi suy ra tọa độ giao điểm M.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d .
A. M(1; –1; –5)
B. M(1; –1; 3)
C. M(3; –2; –1)
D. M(5; –3; 3)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Thử đáp án A ta được: . Suy ra M thuộc đường thẳng d.
Thử đáp án B ta được: . Suy ra M không thuộc đường thẳng d.
Thử đáp án C ta được: . Suy ra M thuộc đường thẳng d.
Thử đáp án D ta được: . Suy ra M thuộc đường thẳng d.
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 5 = 0. Tọa độ giao điểm của d và (P) là
A. (2; 1; –1)
B. (3; –1; –2)
C. (1; 3; –2)
D. (1; 3; 2)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Xét hệ:
⇔ t = 1 ⇒ A(1; 3; 2) là tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Câu 3. Trong không gian Oxyz, giao điểm của đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x – y – z – 7 = 0 có tọa độ là
A. (3; –1; 0)
B. (0; 2; –4)
C. (6; –4; 3)
D. (1; 4; –2)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Phương trình tham số của d:
Tọa độ giao điểm của d và (P) là nghiệm của hệ:
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (3; –1; 0)
Vị trí tương đối tổng hợp
Dạng 1. Vị trí tương đối giữa 2 mặt phẳng
[content_2]Phương pháp giải
Cho 2 mặt phẳng (P): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
(P) có VTPT và (Q) có VTPT
– Nếu thì (P) // (Q)
– Nếu thì (P) ≡ (Q)
– Nếu và không cùng phương thì (P), (Q)
– Nếu thì (P) ⊥ (Q)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (Q): 3x – 3y + 2z + 6 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (Q) cắt và không vuông góc với (P)
B. (Q) ⊥ (P)
C. (Q) song song với (P)
D. (Q) ≡ (P)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có: ⇒ (P) và (Q) cắt nhau
Xét
⇒ (P) và (Q) cắt và không vuông góc nhau.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 4y – 6z + 5 = 0 và mặt phẳng (Q): x + 2y + mz + 1 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song
A. m = 3
B. m = –3
C. m = 2
D. m = –2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
(P) có VTPT
(Q) có VTPT
Để 2 mặt phẳng song song thì cùng phương.
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 5x – 2y + z – 1 = 0 và mặt phẳng (Q): x – 3y + mz + 11 = 0. Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
A. m = –11
B. m = 1
C. m = 11
D. m = –1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
(P) có VTPT
(Q) có VTPT
Để 2 mp vuông góc nhau thì
Dạng 2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và đường thẳng
[content_3]Phương pháp giải
Cho đường thẳng d qua điểm M(x0; y0; z0) có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến
– d // (P) nếu và không có điểm chung.
– d ⊂ (P) nếu và có điểm chung.
– d ⊥ (P) nếu
Sơ đồ tư duy:
Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
Xét phương trình (P): A(x0 + a1t) + B(y0 + a2t) + C(z0 + a3t) + D = 0
– Nếu pt (1) vô nghiệm thì d // (P)
– Nếu pt (1) vô số nghiệm thì d ⊂ (P)
– Nếu pt (1) có nghiệm thì t = t0 thì d cắt (P) tại điểm M(x0 + a1t; y0 + a2t; z0 + a3t)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 3x – 3y + 2z + 6 = 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P)
B. d vuông góc với (P)
C. d song song với (P)
D. d nằm trong (P)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đường thẳng d đi qua M(–1; 0; 5) có VTCP và mặt phẳng (P) có VTPT
Vì , suy ra d cắt hoặc vuông góc với (P)
Vì ⇒ không cùng phương ⇒ không vuông góc.
Vậy d cắt và không vuông góc với (P)
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình: . Xét mặt phẳng (P): 10x + 2y + mz + 11 = 0, m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng ∆.
A. m = –2
B. m = 2
C. m = –52
D. m = 52
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đường thẳng ∆: có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng (P): 10x + 2y + mz + 11 = 0 có vectơ pháp tuyến
Để mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng ∆ thì phải cùng phương với
Dạng 3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường thẳng
[content_4]Phương pháp giải
Cho đường thẳng d1 qua điểm M(x1; y1; z1), có vectơ chỉ phương và d2 qua điểm M’(x2; y2; z2), có vectơ chỉ phương
– d1 // d2 nếu và không có điểm chung.
– d1 ≡ d2 nếu và có một điểm chung.
– d1 cắt d2 nếu không song song và
– d1 chéo d2 nếu không song song và
Sơ đồ tư duy:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của đường thẳng d1: và đường thẳng d2: là
A. Cắt nhau
B. Song song
C. Chéo nhau
D. Trùng nhau.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
d1 qua M1(–1; 1; –1), có vectơ chỉ phương
d2 qua M2(–3; –2; –2), có vectơ chỉ phương
không cùng phương
Ta có:
⇒ d1 cắt d2
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vị trí tương đối của d1: và d2: là
A. Trùng nhau
B. Cắt nhau
C. Song song
D. Chéo nhau.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
d1 qua M1(0; 0; 4), có vectơ chỉ phương
d2 qua M2(3; 0; 0), có vectơ chỉ phương
không cùng phương
Ta có:
⇒ d1 chéo d2
Dạng 4. Vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng
[content_5]Phương pháp giải
Cho mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a; b; c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
– Nếu d(I, (P)) > R thì mp (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
– Nếu d(I, (P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.
Khi đó (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) và điểm chung gọi là tiếp điểm.
– Nếu d(I, (P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình:
Trong đó bán kính đường tròn và tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x – 2y + z – 1 = 0 và mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 1)2 = 4. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. (P) không cắt (S)
B. (P) tiếp xúc (S)
C. (P) cắt (S)
D. (P) đi qua tâm của (S)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
(S) có tâm I(1; 2; –1) và bán kính R = 2
Khoảng cách từ tâm I đến (P):
Vậy (P) không cắt (S).
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 3y + 4z + m = 0 và mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 26. Xác định m để (P) tiếp xúc với (S)?
A. m = 7, m = –45
B. m = 7, m = 45
C. m = –7, m = 45
D. m = –7, m = –45
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
(S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính
(P) tiếp xúc với (S)
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 0; –2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y – 2z + 4 = 0. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với (P) là
A. (x – 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 9
B. (x – 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 3
C. (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 3
D. (x + 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 9
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Ta có
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; –2), bán kính R = 3 có dạng (S): (x – 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 9
Dạng 5. Vị trí tương đối mặt cầu và đường thẳng
[content_6]Phương pháp giải
Cho đường thẳng d: qua M0(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương
Mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 có tâm I(a; b; c), bán kính R .
Gọi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến đường thẳng d là
– Nếu d(I, d) > R thì d không cắt (S)
– Nếu d(I, d) = R thì d tiếp xúc (S)
– Nếu d(I, d) < R thì d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và AB vuông góc với đường kính (bán kính) mặt cầu. Khi đó
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d: và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0. Số điểm chung của d và (S) là
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
d qua M(0; 1; 2), có vectơ chỉ phương
(S) có tâm I(1; 0; –2) và
Vậy d và (S) không cắt nhau.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: , mặt cầu tâm I(2; 5; 3) tiếp xúc với d là
A. (S): (x – 2)2 + (y – 5)2 + (z – 3)2 = 18
B. (S): (x – 2)2 + (y – 5)2 + (z – 3)2 = 16
C. (S): (x – 2)2 + (y – 5)2 + (z – 3)2 = 25
D. (S): (x – 2)2 + (y – 5)2 + (z – 3)2 = 9
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
d qua M(1; 0; 2), có vectơ chỉ phương
Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên
⇒ R2 = 18
Bài toán về khoảng cách
Dạng 1. Khoảng cách giữa hai điểm
[content_7]Phương pháp giải
Cho hai điểm A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1). Tính độ dài đoạn thẳng OA.
A. OA = 3
B. OA = 9
C. OA = 25
D. OA = 5
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(4; 3; –2) và B(3; –5; 0). Độ dài đoạn thẳng AB là
A.
B.
C.
D. 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Với A(4; 3; –2) và B(3; –5; 0) thì , do đó
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; –4; 0), B(–1; 1; 3), C(3; 1; 0). Tìm tọa độ điểm D trên trục hoành sao cho AD = BC.
A. D(–2; 1; 0), D(–4; 0; 0)
B. D(0; 0; 0), D(–6; 0; 0)
C. D(6; 0; 0), D(12; 0; 0)
D. D(0; 0; 0), D(6; 0; 0)
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Gọi D(x; 0; 0) ∈ Ox
Dạng 2. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa một đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng.
[content_8]Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:
Đặc biệt: d(M, (Oxy)) = |z0|; d(M, (Oxz)) = |y0|; d(M, (Oyz)) = |x0|
Khoảng cách giữa hai mp song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng tới mặt phẳng là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.
Chú ý: Nếu đường thẳng không song song với mặt phẳng thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; –3; 5) và mặt phẳng (α) có phương trình: 2x – y + 2z – 6 = 0. Khoảng cách từ điểm M mặt phẳng (α) là
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Áp dụng công thức
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 3y – z + 2 = 0, (β): 2x + 3y – z + 16 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là
A.
B. 0
C. 15
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Lấy điểm M(0; 0; 2) ∈ (α)
Áp dụng công thức
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 1 = 0 và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách d giữa ∆ và (P)
A.
B.
C.
D. d = 2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
(P) có vectơ pháp tuyến và đường thẳng ∆ có VTCP thỏa mãn nên ∆ // (P) hoặc ∆ ⊂ (P)
Do đó: lấy A(1; –2; 1) ∈ ∆
Ta có:
Dạng 3. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
[content_9]Phương pháp giải
Cách 1: Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng ∆.
Bước 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆. Khi đó tham số hóa tọa độ điểm H theo t.
Bước 2: Từ tìm ra tham số t rồi suy ra tọa độ điểm H.
Bước 3: Tính đoạn AH.
Cách 2: Sử dụng công thức:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm P(a; b; c). Khoảng cách từ P đến trục toạ độ Oy bằng
A. a2 + c2
B.
C. b
D. |b|
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Gọi H là hình chiếu của P lên trục Oy. Khi đó H(0; b; 0)
Câu 2. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(4; –3; 2) đến đường thẳng ∆:
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
Đường thẳng ∆ có VTCP và qua điểm B(–2; –2; 0)
Dạng 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
[content_10]Phương pháp giải
Cách 1: Tính đoạn vuông góc chung AB của ∆1 và ∆2.
– Bước 1: Tham số hóa tọa độ hai điểm A, B theo t1, t2. Xác định hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là
– Bước 2: Sử dụng . Từ đó xác định được tọa độ hai điểm A, B.
– Bước 3: Tính đoạn AB.
Cách 2: Quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
– Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆1 và song song với ∆2
– Bước 2: Tính khoảng cách từ một điểm A ∈ ∆1 đến mặt phẳng (P). Khi đó d(∆1, ∆2) = d(A, (P))
Cách 3: Sử dụng công thức:
Bài tập vận dụng
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: và d’: . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d’.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn A
d có vectơ chỉ phương , đi qua M(–1; –1; 1)
d’ có vectơ chỉ phương , đi qua M’(1; –2; 3)
Ta có:
⇒ d, d’ chéo nhau.
Khi đó khoảng cách h giữa hai đường thẳng d và d’ là: