Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp độc giả tìm hiểu chi tiết khái niệm khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Từ đó ưng dụng giải các dạng toán về nhận diện khối đa diện, trắc nghiệm lý thuyết khối đa diện thường gặp.
Khối đa diện lồi
[content_1]Khái niệm
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của khối đa diện thuộc khối đa diện.
Lưu ý: Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.
Kết quả quan trọng
Cho một khối tứ diện đều: Khi đó:
– Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
– Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
– Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.
– Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.
Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:
– Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
– Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
– Ba đường chéo bằng nhau.
Khối đa diện đều
[content_2]Định nghĩa
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:
– Mỗi mặt của nó là một đa giác đều n cạnh.
– Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng p mặt.
– Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {n; p}.
Định lí
Chỉ có năm loại khối đa điện đều.
Đó là loại: {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3} và {3; 5}.
Các khối đa diện đều:
Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại {n; p} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt. Khi đó: p.Đ = 2C = n.M.
Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện đều
Công thức Ơ-le
Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta có: Đ – C + M = 2.
Tâm đối xứng của một hình
Nếu phép đối xứng qua tâm I biến hình (H) thành chính nó thì I là tâm đối xứng của hình (H).
Mặt phẳng đối xứng của một hình
Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) là mặt phẳng đối xứng qua hình (H).
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Nhận diện đa diện lồi, đa diện đều
[content_3]Phương pháp giải
– Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của khối đa diện thuộc khối đa diện.
Ví dụ:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong các hình dưới đây hình nào không phải khối đa diện lồi?
A. Hình 1
B. Hình 2
C. Hình 3
D. Hình 4
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn D
Đường nối đoạn MN không thuộc khối hình 4 nên hình 4 không phải khối đa diện lồi.
Câu 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình hộp là đa diện lồi.
B. Tứ diện là đa diện lồi.
C. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi.
D. Hình lập phương là đa diện lồi.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện lồi.
Hai tứ diện đều ghép vào nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Hai tứ diện (đều là các đa diện lồi) nhưng khi ghép với nhau có thể không tạo thành một hình đa diện lồi.
Hai tứ diện ABCD và MNPQ trước khi ghép.
Sau khi ghép hai tứ diện ABCD và MNPQ ta được hình mới không phải hình đa diện lồi.
Dạng 2. Các đặc điểm của khối đa diện đều
[content_4]Phương pháp giải
– Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4}, {5; 3} và {3; 5}.
– Dựa vào bảng tóm tắt phần lý thuyết các thông số: Đỉnh cạnh mặt của các khối đa diện để giải toán.
– Dựa vào tính chất phép biến hình để tìm mặt phẳng đối xứng, tâm đối xứng, trục đối xứng,… của các loại khối đa diện.
– Công thức Ơ-le: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt thì ta có công thức Đ – C + M = 2.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Hình bát diện đều có tất cả bao nhiêu cạnh?
A. 6
B. 8
C. 12
D. 20
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Hình bát diện đều có 12 cạnh.
Câu 2. Khối mười hai mặt đều có bao nhiêu đỉnh?
A. 12
B. 16
C. 20
D. 36
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Khối mười hai mặt đều có 20 đỉnh.
Câu 3. Cho khối đa diện đều loại {3; 4}. Tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa điện đó bằng
A. 180°
B. 240°
C. 324°
D. 360°
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Khối đa diện đều loại {3; 4} là khối bát diện đều. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 mặt.
Vậy tổng các góc phẳng tại một đỉnh của khối đa diện đó bằng 60°.4 = 240°.
Câu 4. Cho hình đa diện đều loại {4; 3} cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. S = 4 a2
B. S = 6 a2
C. S = 8 a2
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Đa diện đều loại {4; 3} là khối lập phương nên có 6 mặt là các hình vuông cạnh a. Vậy hình lập phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S = 6 a2.
Bài tập 5: Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 
B. 
C. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C
Hình bát diện đều là hình có tám mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều. Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh a
Vậy diện tích S cần tính là 
.
Bài tập 6: Cho hình 20 mặt đều có cạnh bằng 2. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 
B. 
C. 
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn B
Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều.
Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 2
Vậy diện tích S cần tính là 
