Công thức toán hình 12: Trọn bộ công thức và các dạng bài

Ở chương trình toán 12 chúng ta tiếp xúc với một số điểm kiến thức hình học đã được tìm hiểu từ các cấp học trước, tuy nhiên ở lần tiếp cận này sẽ đi chuyên sâu hơn về cả lý thuyết lẫn các dạng bài tập. Bài viết sau đây sẽ giúp các bạn học sinh hệ thống lại toàn bộ công thức toán hình 12 cũng như các dạng toán đặc trưng nhất.

Phần 1. Công thức khối đa diện

[content_1]

1. Khối lăng trụ và khối chóp

Khối lăng trụ (chóp) là phần không gian được giới hạn bởi một lăng trụ (chóp) kể cả hình lăng trụ (chóp) ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

Điểm không thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt). Điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt).

Công thức khối lăng trụ và khối chóp — Khái niệm khối lăng trụ và khối chóp

2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện

2.1. Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất.

– Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

– Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Mỗi đa giác gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự được gọi là các đỉnh, cạnh của hình đa diện.

Công thức hình đa diện — Khái niệm về hình đa diện

2.2. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

– Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện đó được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp những điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

– Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đó.

Công thức khối đa diện — Khái niệm về khối đa diện

3. Hai đa diện bằng nhau

3.1. Phép dời hình trong không gian

Trong không gian, quy tắc tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy y.

Một số phép dời hình trong không gian:

3.1.1. Phép tịnh tiến theo vectơ

Nội dung: Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

Hình vẽ:

3.1.2. Phép đối xứng qua mặt phẳng (P)

Nội dung:

Là phép biến hình mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

3.1.3. Phép đối xứng qua tâm O

Nội dung:

Là phép biến hình điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

3.1.4. Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng với trục ∆)

Nội dung:

Là biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ được gọi là trục đối xứng của (H).

Hình vẽ:

Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ – phép đối xứng trục

Nhận xét:

Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

3.2. Hai hình bằng nhau

Hai hình đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nội dung:

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁), (H₂) sao cho (H₁) và (H₂) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H₁) và (H₂) với nhau để được khối đa diện (H).

Hình vẽ:

5. Khối đa diện

5.1. Khối đa diện lồi

Một khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với hai điểm bất kỳ A và B nào của nó thì mọi điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.

5.2. Khối đa diện đều

Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

– Các mặt là những đa giác đều n cạnh.

– Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh.

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {n, p}.

Định lí

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, loại {4; 3}, loại {3; 4}, loại {5; 3}, loại {3; 5}. Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; Khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại {n; p} có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.

Khi đó: pĐ = 2C = nM.

5.3. Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi

Kết quả 1

Cho một khối tứ diện đều. Khi đó:

– Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;

– Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

Kết quả 2

Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.

Kết quả 3

Tâm của các mặt của khối bát diện đều là các đỉnh của một khối lập phương.

Kết quả 4

Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

– Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

– Ba đường chéo đôi một vuông góc nhau;

– Ba đường chéo bằng nhau.

6. Thể tích khối đa diện

6.1. Thể tích khối chóp

Nội dung:

S_đáy: Diện tích mặt đáy.

h: Độ dài chiều cao khối chóp.

Công thức tính thể tích khối chóp — Hình minh họa về khối chóp

6.2. Thể tích khối lăng trụ

Nội dung:

V = S_đáy. h

S_đáy: Diện tích mặt đáy.

h: Chiều cao của khối chóp.

Lưu ý:

Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

Hình vẽ:

Thể tích khối lăng trụ — Hình ảnh minh họa về khối lăng trụ

6.3. Thể tích khối hộp chữ nhật

Nội dung:

V = a. b. c

Hình vẽ:

Khối hộp chữ nhật — Hình ảnh minh họa khối hộp chữ nhật

6.4. Thể tích khối lập phương

Nội dung:

V = a³

Hình vẽ:

Thể tích khối lập phương — Hình ảnh minh họa khối lập phương

6.5. Tỉ số thể tích

Nội dung:

Thể tích hình chóp cụt ABC.A’B’C’

Với B, B’, h là diện tích hai đáy và chiều cao.

Hình vẽ:

Tỉ số thể tích — Hình ảnh minh họa về tỉ số thể tích

6.6. Một số chú ý về độ dài các đường đặc biệt

Đường chéo của hình vuông cạnh a là

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là:

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là:

Đường cao của tam giác đều cạnh a:

7. Các công thức hình phẳng

7.1. Hệ thức lượng tam giác

– Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH

AB² + AC² = BC²

AB² = BH.BC

AC² = CH.BC

AH.BC = AB.AC

AH² = BH.HC

AB = BC. sin C = BC. cos B = AC. tan C = AC. cot B

– Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài các trung tuyến là m_a, m_b, m_c bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p.

Định lí hàm số cosin:

a² = b² + c² – 2bc.cos A; b² = c² + a² – 2ca. cosB; c² = a² + b² – 2ab.cos C

Định lí hàm số sin:

Độ dài trung tuyến:

7.2. Các công thức tính diện tích

Tam giác

∆ABC vuông tại A:

∆ABC đều, cạnh a:

Hình vuông

S = a² (a: cạnh hình vuông)

Hình chữ nhật

S = ab (a, b: hai kích thước)

Hình bình hành

S = đáy × cao =

Hình thoi

Hình thang

(a, b: hai đáy, h: chiều cao)

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc AC & BD

8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp

Công thức 1

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S₁, S₂, S₃.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp số 1 — Các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau từng đôi một

Công thức 2

Cho hình chóp S. ABC có SA vuông góc với (ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, .

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 2 — Hình chóp S. ABC có SA vuông góc với (ABC), hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau

Công thức 3

Cho hình chóp đều S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 3 — Hình chóp đều S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

Công thức 4

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 4 — Hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc α.

Công thức 5

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 5 — Hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β.

Công thức 6

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 6 — Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có các cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc β.

Công thức 7

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = b.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 7 — Hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy là ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và SA = SB = SC = SD = b.

Công thức 8

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α.

Khi đó:

Công thức tính nhanh thể tích hình chóp - Công thức số 8 — Hình chóp tứ giác S. ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α.

Công thức 9

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a, với

Khi đó:

Công thức 10

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là α với .

Khi đó:

Công thức 11

Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với (SBH), góc giữa (P) với mặt phẳng đáy là α.

Khi đó:

Công thức 12

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a.

Khi đó:

Công thức 13

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương.

Khi đó:

9. Các công thức đặc biệt thể tích tứ diện

9.1. Công thức tính khi biết 3 cạnh, 3 góc ở đỉnh 1 tứ diện

Điều kiện tứ diện:

9.2. Công thức tính khi biết 2 cạnh đối, khoảng cách và góc 2 cạnh đó.

Điều kiện tứ diện:

9.3. Công thức tính khi biết một cạnh, diện tích và góc giữa 2 mặt kề.

Điều kiện tứ diện:

9.4. Công thức tính khi biết 3 cạnh, 2 góc ở đỉnh và 1 góc nhị diện.

Điều kiện tứ diện:

9.5. Tứ diện đều

Điều kiện tứ diện:

Tứ diện đều tất cả các cạnh bằng a.

9.6. Tứ diện gần đều

Điều kiện tứ diện:

Tứ diện gần đều

Xem thêm

Phần 2. Mặt nón – Mặt trụ – Mặt cầu

[content_2]

1. Mặt nón tròn xoay và khối nón

1.1. Mặt nón tròn xoay

Nội dung:

Đường thẳng d, ∆ cắt nhau tại O và tạo thành góc β với 0⁰ < β < 90⁰, mp (P) chứa d, ∆. (P) quay quanh trục ∆ với góc β không đổi ⇒ mặt nón tròn xoay đỉnh O.

∆ gọi là trục.

d được gọi là đường sinh.

Góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

Hình vẽ:

Mặt nón tròn xoay — Hình vẽ mặt nón tròn xoay

1.2. Khối nón

Nội dung:

Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi là những điểm ngoài của khối nón.

Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

Hình vẽ:

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy là r.

Diện tích xung quanh của hình nón: S_xq = πrl.

Diện tích đáy (hình tròn): S_đáy = πr².

Diện tích toàn phần của hình nón: S_tp = πrl + πr².

Thể tích khối nón:

1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) đi qua đỉnh của mặt nón.

Điều kiện:

Mp (Q) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

Mp (Q) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.

Kết quả:

Thiết diện là tam giác cân.

(Q) là mặt phẳng tiếp diện của hình nón.

Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q) không đi qua đỉnh của mặt nón.

Điều kiện:

Mp (Q) vuông góc với trục hình nón.

Mp (Q) song song với 2 đường sinh hình tròn.

Mp (Q) song song với 1 đường sinh hình nón.

Kết quả:

Giao tuyến là 1 đường parabol.

Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

Giao tuyến là một đường tròn.

2. Mặt trụ tròn xoay

2.1. Mặt trụ

Nôi dung:

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.

Đường thẳng ∆ gọi là trục.

Đường thẳng l là đường sinh.

r là bán kính của mặt trụ đó.

Hình vẽ:

2.2. Hình trụ tròn xoay với khối trụ tròn xoay

Nội dung:

Ta xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ.

Hình vẽ:

Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.

Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.

Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng. Hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.

Diện tích xung quanh: S_xq = 2πrl.

Diện tích toàn phần: S_tp = 2πrl + 2πr².

Thể tích: V = πr²h.

3. Mặt cầu – Khối cầu

3.1. Mặt cầu

Nội dung:

Cho điểm I cố định và một số thực dương R.

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S (I; R). Khi đó: S (I; R) = {M |IM = R}.

Hình vẽ:

3.2. Vị trị tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S (I; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

⇒ d = IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó:

– d > R

Mặt cầu và mặt phẳng không có điểm chung.

– d = R

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: (P) là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu và H: tiếp điểm.

– d < R

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I’ và bán kính

Hình vẽ: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện

Lưu ý:

Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S (I; R) và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của I lên ∆. Khi đó:

– IH > R

∆ không cắt mặt cầu.

– IH = R

∆ tiếp xúc mặt cầu.

∆: Tiếp điểm của (S)

H: Tiếp điểm.

– IH < R

∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

Hình vẽ: ∆ cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt

Lưu ý:

Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại 2 điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau:

3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Nội dung:

Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.

Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của mặt cầu.

Hình vẽ:

Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:

Nội dung:

Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại tiếp mặt cầu.

Hình vẽ:

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. còn nói hình đa diện đều nằm trên mặt cầu.

Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp A. ABCD khi và chỉ khi:

OA = OB = OC = OD = OS = r.

Hình vẽ:

Cho mặt cầu S (I; R)

Diện tích mặt cầu: S = 4 πR².

Thể tích khối cầu:

4. Một số dạng toán và công thức giải

4.1. Bài toán mặt nón

Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường tròn có tâm nằm trên trục của hình nón.

Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và đường sinh l. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d.

Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:

AC ⊥ (SMI)

Góc giữa (SAC) và (ABC) là góc

Góc giữa (SAC) và SI là góc

d (I, (SAC)) = IH = d.

Diện tích thiết diện

Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp

Hình nón nội tiếp hình chóp S. ABCD đều là hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Khi đó hình nón có:

Bán kính đáy

Đường cao h = SI, đường sinh l = SM.

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S. ABCD đều là hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Khi đó hình nón có:

Bán kính đáy:

Chiều cao: h = SI.

Đường sinh: l = SA

Hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC đều là hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Khi đó hình nón có:

Bán kính đáy:

Chiều cao: h = SI.

Đường sinh: l = SM.

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC đều là hình nón có đỉnh là S, đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Khi đó hình nón có:

Bán kính đáy:

Chiều cao: h = SI.

Đường sinh: SA.

Dạng 4. Bài toán hình nón cụt

Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.

– Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy thì được mặt cắt là một hình tròn.

– Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục thì được mặt cắt là một hình thang cân.

– Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ và chiều cao.

Diện tích xung quanh của hình nón cụt:

S_xq = πl (R + r).

Diện tích đáy (hình tròn):

Diện tích toàn phần của hình nón cụt:

S_tp = πl (R + r) + πr² + πR².

Thể tích khối nón cụt:

Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt

Từ hình tròn (O; R) cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón đó.

Hình nón được tạo thành có:

4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ

Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R

Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB = 2R và AD = h. Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h = 2R.

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: d (OO’; (BGHC)) = OM

Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy

Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì:

Đặc biệt: Nếu AB và CD vuông góc nhau thì:

Dạng 3. Xác định góc khoảng cách

– Góc giữa AB và trục OO’:

– Khoảng cách giữa AB và trục OO’: d (AB; OO’) = OM.

– Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ.

Nghĩa là cạnh hình vuông:

Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài toán tối ưu

Một khối trụ có thể tích V không đổi.

Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn phần nhỏ nhất:

Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:

Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng

Cho hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể tích khối trụ là

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung quanh hình trụ là S_xq thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là

5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu

5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Các khái niệm cơ bản

– Trục của đa giác đáy: Là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kỳ một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

– Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kỳ một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

– Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kỳ một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

– Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: Là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp.

– Bán kính: Là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện

Hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒ Tâm I là trung điểm của AC’.

Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Bán kính:

Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn

Xét hình lăng trụ đứng trong đó có 2 đáy và nội tiếp đường tròn (O) và (O’). Lúc đó mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

Tâm: I với I là trung điểm của OO’.

Bán kính:

Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông

Hình chóp S.ABC có

Tâm: I là trung điểm của SC.

Bán kính:

Hình chóp S. ABCD có

Tâm: I là trung điểm của SC.

Bán kính:

Hình chóp đều

Cho hình chóp đều S.ABC…

Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mp (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA và ∆ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

Bán kính:

Ta có: ⇒ Bán kính:

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy

Cho hình chóp S.ABC… có cạnh bên SA ⊥ (ABC…) và đáy ABC… nội tiếp được trong đường tròn tâm O.

Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC… được xác định như sau:

– Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuống góc với mp (ABC…) tại O.

– Trong mp (d, SA), ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS…

– Tìm bán kính

Ta có: MIOB là hình chữ nhật.

Xét ∆MAI vuông tại M có:

Hình chóp khác

Dựng trục ∆ của đáy.

Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kỳ.

(α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trong của bài toán.

5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Cho hình chóp S.A₁A₂…A_n (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1:

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2:

Lập mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên. Lúc đó:

Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ mp (α) = {O}

Bán kính: R = SA (= SO). Tùy vào từng trường hợp.

5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

– Định nghĩa

Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.

– Tính chất

∀ M ∊ ∆: MA = MB = MC

Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∊ ∆.

– Các bước xác định trục

Bước 1:

Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2:

Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Hình vẽ:

– Một số trường hợp đặc biệt

– Đáy là tam giác vuông

– Đáy là tam giác đều

– Đáy là tam giác thường

2. Kỹ năng tam giác đồng dạng

Nội dung

∆SMO đồng dạng với ∆SIA

Hình vẽ

3. Nhận xét quan trọng

SM là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

– Nội dung

Cho hình chóp S.A₁A₂…A_n (thỏa mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:

– Bước 1:

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng ∆: trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

– Bước 2:

Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên (dễ xác định) của khối chóp.

– Lúc đó:

Tâm I của mặt cầu: ∆ ∩ d = {I}

Bk: R = IA (= IS). Tùy vào từng trường hợp.

5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu

Dạng 1

Cạnh bên SA vuông góc đáy và khi đó và tâm là trung điểm SC.

Dạng 2

Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là R_D, khi đó:

(p: nửa chu vi).

Nếu ∆ABC vuông tại A thì:

Đáy là hình vuông cạnh a thì

Nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì

Dạng 3

Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA = SB = SC = SD:

ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai đường chéo.

∆ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.

∆ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm.

Dạng 4

Hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) vuông góc với nhau và có giao tuyến AB. Khi đó ta gọi R₁, R₂ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:

Dạng 5

Chóp S. ABCD có đường cao SH, tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O. Khi đó ta giải phương trình: . Với giá trị x tìm được ta có:

Dạng 6

Bán kính mặt cầu nội tiếp:

6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay

1. Chỏm cầu

2. Hình trụ cụt

3. Hình nêm loại 1

4. Hình nêm loại 2

5. Parabol bậc hai – Paraboloid tròn xoay

6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip

7. Diện tích vành khăn

S = π (R² – r²)

8. Thể tích hình xuyến (phao)

Phần 3: Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

[content_3]

1. Hệ tọa độ không gian

– Khái niệm mở đầu

Trong không gian cho ba trục Ox, Oy, Oz phân biệt và vuông góc từng đôi một. Gốc tọa độ O, trục hoành Ox, trục tung Oy, trục cao Oz, các mặt tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

– Khái niệm về hệ trục tọa độ

Khi không gian có hệ trục tọa độ thì gọi là không gian tọa độ Oxyz hay không gian Oxyz.

Chú ý:

– Tọa độ vectơ

– Tọa độ điểm

– Các công thức tọa độ cần nhớ

Cho

– Chú ý

Góc của 2 vectơ là góc hình học (nhỏ) giữa 2 tia mang vectơ có giá trị trong [0; π] là:

– Chia tỉ lệ đoạn thẳng

M chia AB theo tỉ số k nghĩa là

Công thức tọa độ của M là:

– Công thức trung điểm

Nếu M là trung điểm AB thì

– Công thức trọng tâm tam giác

Nếu G là trọng tâm của ∆ABC thì

– Công thức trọng tâm tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì

– Tích có hướng 2 vectơ

Cho 2 vectơ và ta định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ đó là một vectơ, kí hiệu hay có tọa độ:

– Tính chất có hướng 2 vectơ

vuông góc với và

cùng phương

– Ứng dụng tích có 2 vectơ

Diện tích hình bình hành ABCD:

Diện tích ∆ABC:

Ba vectơ đồng phẳng:

Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD và cạnh bên AA’:

Thể tích khối tứ diện S.ABC:

– Các phép toán về tọa độ của vectơ và của điểm

– Sử dụng các công thức về tọa độ của vectơ và của điểm trong không gian.

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

– Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích

– Sử dụng các công thức về tọa độ của vectơ và của điểm trong không gian.

– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.

– Công thức xác định tọa độ của các điểm đặc biệt.

– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:

A, B, C thẳng hàng ⇔ cùng phương ⇔

ABCD là hình bình hành

Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ∆ABC trên BC.

Ta có:

A, B, C, D không đồng phẳng không đồng phẳng

2. Mặt phẳng

2.1. Các khái niệm và tính chất

1. Khái niệm về vectơ pháp tuyến

khác và có giá vuông góc mp (P) được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).

2. Tính chất của vectơ pháp tuyến

Nếu là vectơ pháp tuyến của (P) thì cũng là vectơ pháp tuyến của (P).

3. Phương trình tổng quát của mp (P)

Phương trình tổng quát của mp (P) qua M (x₀; y₀; z₀) và có vectơ pháp tuyến là A (x – x₀) + B (y – y₀) + C (z – z₀) = 0.

4. Khai triển của phương trình tổng quát

Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: Ax + By + Cz + D = 0 (trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0)

5. Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát

(P) qua gốc tọa độ ⇔ D = 0

(P) song song hoặc trùng (Oxy) ⇔ A = B = 0

(P) song song hoặc trùng (Oyz) ⇔ B = C = 0

(P) song song hoặc trùng (Ozx) ⇔ A = C = 0

(P) song song hoặc chứa Ox ⇔ A = 0

(P) song song hoặc chứa Oy ⇔ B = 0

(P) song song hoặc chứa Oz ⇔ C = 0

(P) cắt Ox tại A (a; 0; 0), cắt Oy tại B (0; b; 0) và cắt Oz tại C (0; 0; c) ⇔ (P) có phương trình

6. Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng

Cho M (x₀; y₀; z₀) và (P): Ax + By + Cz + d = 0;

7. Chùm mặt phẳng

Tập hợp tất cả các mặt phẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là chùm mặt phẳng

Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

(α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 và (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

Khi đó nếu (P) là mặt phẳng chứa (d) thì mặt phẳng (P) có dạng:

m (A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + n (A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0 với m² + n² ≠ 0

2.2. Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Để lập phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.