Tìm hiểu chuyên mục hàm số liên tục thông qua các định lý liên tục tại điểm, trong khoảng và cách giải 5 dạng toán đặc trưng hay gặp. Bài viết đa phần trình bày các nội dung về hàm liên tục trong toán học giải tích và tập trung vào phương pháp giải bài tập mà không tập trung vào phần lý thuyết chuyên sâu.
Lý thuyết hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục là gì?
Hàm số liên tục (hàm liên tục) là hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó – được gọi là các điểm gián đoạn. Nói bao quát hơn sự thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch đầu ra cũng nhỏ. Ngược lại với hàm số liên tục là hàm gián đoạn. [1]Wikipedia, Hàm liên tục, 17/05/2022
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c). Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó.
2. Hàm số liên tục tại một điểm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.
+) Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu 
.
+) Hàm số y = f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
4. Hàm số liên tục trên một khoảng
1. Định lý 1
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu có liên tục trên khoảng (a; b) và
.
+) Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng, như (a; b), [a; +∞),… được định nghĩa một cách tương tự.
+) Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.
2. Định lý 2
Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ.
3. Định lý 3
+) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
4. Định lí 4
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó
+) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g (x), và y = f(x).g(x) liên tục tại x0
+) Hàm số 
liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠0
5. Định lí 5
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) =0.
+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b)
Dạng xét tính liên tục tại một điểm
1.1. Phương pháp giải
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại một điểm x0 ∈ D, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính f(x0)
Bước 2: Tìm 
Bước 3: So sánh và rút ra kết luận.
+) Nếu thì hàm số f(x) liên túc tại điểm x0.
+) Nếu 
thì hàm số f(x) không liên tục (gián đoạn) tại điểm x0.
1.2. Bài tập vận dung
[ads]Bài tập 1. Cho hàm số:
với a là hằng số.
Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1
Lời giải
Ta có:
Nếu a = 2 thì hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 1
Nếu a ≠ 2 thì hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 = 1
Bài tập 2. Cho hàm số:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0
Lời giải
Ta có:
Ta có 
Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = 0.
Bài tập 3: Cho hàm số:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 1.
Lời giải
Ta có:
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 1.
Bài tập 4. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2
Lời giải
Ta có
Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 = 2.
Bài tập 5. Cho hàm số f(x) xác định bởi:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 4
Ta có:
Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 = 4.
Bài tập 6: Cho hàm số:
.
Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 2.
Lời giải:
Ta có:
Điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2 là
Bài tập 7. Cho hàm số:
.
Tìm m đề hàm số liên tục tại x0 = 2.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại điểm x0 = 2 thì
Bài tập 8. Cho hàm số:
Tìm m để hàm số liên tục tại x0 = 0.
Lời giải
Ta có
Để hàm số liên tục tại x0 = 0 thì
Bài tập 9. Cho hàm số
.
Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.
Lời giải
Ta có
f(x) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi
Bài tập 10. Cho hàm số:
.
Tìm a đề hàm số liên tục tại x0 =1
Lời giải.
Ta có:
Hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi
Bài tập 11. Cho hàm số
.
Tìm a đề hàm số liên tục tại x0 = 0
Lời giải.
Ta có:
Hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0 khi và chỉ khi
Bài tập 12. Cho hàm số
.
Tìm các giá trị của tham số để f(x) liên tục tại x = 1
Lời giải.
Ta có:
Nếu a = −3 thì:
Và f(1) = 0
Nên hàm không liên tục tại x = 1
Nếu a ≠ −3 thì
Nhưng f(1) = 3 + a ≠ 0
Nên hàm không liên tục tại x = 1
Vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 13. Tìm a, b để hàm số sau liên tục tại x0 = 1.
Lời giải.
Ta có:
Hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1 khi và chỉ khi
.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Bài tập 14. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x0 = 0.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại x0 = 0 thì
Bài tập 15. Cho hàm số:
.
Tìm a, b để hàm số liên tục tại x0 = a.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại x0 = a thì
Bài tập 16. Cho hàm số:
.
Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 2.
Lời giải
Ta có:
Vậy 
Hàm số liên tục tại x0 = 2 thì
Bài tập 17. Cho hàm số:
.
Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại x0 = 1.
Lời giải
Ta có:
Vậy
Hàm số liên tục tại x0 = 2 khi và chỉ khi
Dạng hàm số liên tục trên một tập hợp
2.1. Phương pháp giải
Hàm đa thức liên tục trên ℝ.
Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
2.2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng
1) 
2) 
Lời giải
1) Tập xác định của hàm số D = ℝ
Khi x ≠ –1, 
là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên (−∞ ;−1) ∪ (−1; +∞).
Tại điểm x = −1, ta có f(–1) = −3
Do đó hàm số liên tục tại x = −1
Vậy hàm số liên tục trên ℝ
2) Tập xác định của hàm số là D= ℝ
Khi x ≠ 1, 
là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên (−∞ ;1) ∪ (1; +∞).
Tại điểm x = 1, ta có f(1) = 3
Do đó hàm số gián đoạn tại x = 1
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{1}.
Bài tập 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
1) 
2) 
3) 
Lời giải
1) Tập xác định của hàm số D = ℝ
Khi x > 2, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (2; +∞)
Khi x < 2, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞; 2)
Tại điểm x = 2, ta có f(2) = 10
Và 
Vì không tồn tại 
nên hàm số gián đoạn tại x = 2.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{2}.
2) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x > 1, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (1; +∞).
Khi x < 1, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞; 1).
Tại điểm x = 1, ta có f(1) = 3
Và 
Vì 
nên hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ.
3) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x > 3, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (3; +∞).
Khi 0 < x < 3, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 3).
Khi x < 0, 
là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞; 0).
Tại điểm x = 3, ta có f(3) = 10.
Và 
Vì 
nên hàm số liên tục tại x = 3.
Tại điểm tại x = 0, ta có f(0) = −5.
Và 
.
Vì không tồn tại 
nên hàm số gián đoạn tại x = 0.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{0}
Bài tập 3. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng.
1) 
2) 
Lời giải.
1) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x ≠ 2, 
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (−∞; 2) ∪ (2; +∞).
Tại điểm x = 2, ta có f(2) = 1
Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{2}
2) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x ≠ 1, 
là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên (–∞; 1) ∪ (1; +∞)
Tại điểm x = 1, ta có f(1) = 3
Do đó hàm số liên tục tại x = 1
Vậy hàm số liên tục trên ℝ.
Bài tập 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của chúng
1) 
2) 
3) 
Lời giải
1) Tập xác định của hàm số D = ℝ.
Khi x > –2, f(x) = x2 là hàm đa thức nên liên tục trên (–2; +∞)
Khi x < –2, f(x) = 2 – x là hàm đa thức nên liên tục trên (–∞; –2)
Tại điểm x = –2, ta có f(–2) = 4
Và 
Vì 
nên hàm số liên tục tại x = 2
Vậy hàm số liên tục trên ℝ
2) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x > −1, f(x) = 3x − 2 là hàm đa thức nên liên tục trên (−1; +∞).
Khi x < −1, f(x) = x2 – 6 là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞; −1)
Tại điểm x = −1, ta có f(−1) = 1
Và 
Vì không tồn tại 
nên hàm số gián đoạn tại x = −1.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{−1}.
3) Tập xác định của hàm số là D = ℝ
Khi x > 3, f(x) = x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên (3; +∞).
Khi 1 < x < 3, f(x) = x2 là hàm đa thức nên liên tục trên (1; 3)
Khi x < 1, f(x) = 4x2 – 3 là hàm đa thức nên liên tục trên (−∞; 1).
Tại điểm x = 3, ta có f(3) = 4.
Và 
Vì không tồn tại 
nên hàm số gián đoạn tại x = 3.
Tại điểm x = 1, ta có f(1) = 1
Và 
Vì 
nên hàm số liên tục tại x = 1.
Vậy hàm số liên tục trên ℝ \{3}.
Dạng tìm tham số để hàm số liên tục
3.1. Phương pháp giải
Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0
3.2. Bài tập vận dụng
[ads]Bài tập 1. Tìm tham số m để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 2.
Lời giải
Ta có: 
Và 
Để hàm số liên tục tại x0 = 2 ⇔ 8 − m = 2 + m ⇔ m = 3
Bài tập 2. Tìm tham số m để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = −1.
Lời giải
Ta có: 
Và 
Để hàm số liên tục tại
.
Bài tập 3. Tìm tham số m để hàm số sau gián đoạn tại điểm x0 = 1.
Lời giải
Ta có:
Mặt khác: 
Để hàm số gián đoạn tại
Bài tập 4. Cho hàm số
.
Tìm m để hàm số gián đoạn tại điểm x = 2.
Lời giải
Ta có: 
Và 
Để hàm số gián đoạn tại x = 2 khi và chỉ khi
.
Bài tập 5. Cho hàm số
.
Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x = 3.
Lời giải
Ta có:
Và 
Để hàm số liên tục tại x = 3 khi và chỉ khi
.
Bài tập 6. Cho hàm số
.
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi
.
Bài tập 7. Cho hàm số
.
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi:
1 + m = –2 ⇔ m = −3.
Bài tập 8. Cho hàm số
.
Tìm a, b để hàm số liên tục tại điểm x = 1.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi
Bài tập 9. Cho hàm số
.
Tìm m để hàm số liên tục tại điểm 
.
Lời giải
Ta có:
Để hàm số liên tục tại
Dạng bài chứng minh phương trình có nghiệm
4.1. Phương pháp giải
+) Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a,b ∈ D sao cho f(a).f(b)<0.
+) Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai; ai+1) (i = 1, 2, …, k) nằm trong D sao cho f(ai).(ai+1) < 0.
4.2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Chứng minh rằng phương trình 2x4 – 2x3 – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (−1; 0).
Lời giải
Đặt f(x) = 2x4 – 2x3 – 3.
Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f(x) liên tục trên ℝ ⇒ f(x) liên tục trên [−1; 0]
Ta có: f(0) = −3; f(−1) = 1 ⇒ f(−1).f(0) < 0.
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(−1; 0) (đpcm).
Bài tập 2. Chứng minh rằng phương trình 6x3 + 3x2 – 31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đặt f(x) = 6x3 + 3x2 – 31x + 10.
TXĐ: D = ℝ ⇒ f(x) liên tục trên ℝ ⇒ f(x) liên tục trên [−3; 2].
Ta có:
có nghiệm thuộc (−3; 0).
có nghiệm thuộc (0; 1).
có nghiệm thuộc (1; 2)
Mặt khác vì f(x) là một đa thức bậc 3 nên phương trình f(x) = 0 chỉ có tối đa 3 nghiệm.
Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm).
Bài tập 3. Chứng minh rằng phương trình x – 1 + sinx = 0 có nghiệm
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x − 1 + sinx liên tục trên 
Ta có: 
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm 
Vậy phương trình x – 1 + sinx = 0 có nghiệm (đpcm).
Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 4) x2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = (m2 + m + 4) x2017 – 2x + 1 liên tục trên [−1; 0].
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0) với mọi giá trị của tham số m (đpcm)
Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m (đpcm).
Bài tập 5. Chứng minh rằng phương trình acos2x + bsinx + cosx = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số a, b.
Lời giải
Đặt f(x) = acos2x + bsinx + cosx có tập xác định là ℝ ⇒ f(x) liên tục trên ℝ
Vì 
nên trong bốn số 
phải có hai số mà tích của chúng bé hơn hoặc bằng không.
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số a, b (đpcm).
Bài tập 6. Chứng minh phương trình x4 – x3 – 2x2 – 15x – 25 = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x4 – x3 – 2x2 – 15x – 25 liên tục trên ℝ
Ta có
f(−2).f(0) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2; 0) (1)
f(0).f(4) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 4) (2)
Từ (1),(2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương (đpcm).
Bài tập 7. Chứng minh phương trình x4 – 2x2 + 3x – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 3x – 1 = 0 ⇒ f là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ ⇒ f liên tục trên các đoạn [−2; 0] , [0; 2].
Ta có
f(−2).f(0) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2; 0)
f(0).f(2) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2)
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm (đpcm).
Bài tập 8. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2
⇒ f là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ
⇒ f liên tục trên các đoạn [0; 1], [1; 2], [2; 4].
Ta có:
f(0).f(1) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1).
f(1).f(2) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2).
f(2).f(4) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2; 4).
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 9. Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cosx = 0 có nghiệm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x + 1 + cosx liên tục trên [−π; 0]
Và có 
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 ∈ (−π; 0).
Vậy phương trình x + 1 + cosx = 0 có nghiệm.
Bài tập 10. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 5 nghiệm phân biệt:
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x5 + 2x3 + 25x2 + 14x + 2 = (3x2 + x + 1)2
⇔ x5 – 9x4 – 4x3 + 18x2 + 12x + 1 = 0 (1)
Xét hàm số f(x) = x5 – 9x4 – 4x3 + 18x2 + 12x + 1 liên tục trên ℝ.
Ta có:
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng
Mặt khác f(x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt.
Bài tập 11. Chứng minh rằng phương trình (1 – m2) x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của m.
Lời giải
Xét hàm số y = f(x) = (1 – m2) x5 – 3x – 1
Hàm số y = f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [−1; 0]
f(0) = –1; f(–1) = m2 + 1 ⇒ f(0).f(–1) < 0, ∀m
⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (−1; 0), ∀m.
Vậy phương trình (1 – m2).x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài tập 12. Chứng minh rằng phương trình
có ít nhất 2 nghiệm với mọi của m > 1.
Lời giải.
Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 2.
Phương trình đã cho ⇔ x4 – x2 + mx – 3m + 1 = m.(x2 – x – 2)
⇔ x4 – x2 + 1 – m.(x2 – 2x + 1) = 0
Xét hàm số f(x) = x4 – x2 + 1 – m (x – 1)2 liên tục trên ℝ.
Ta có f(−1) = −1 − 4m > 0; f(0) = 1 − m < 0; f(1) = 1 > 0
Suy ra f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm thỏa −1 < x1 < 0 < x2 < 1 với mọi m > 1.
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm với mọi m > 1.
Bài tập 13. Chứng minh rằng phương trình 
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải.
Điều kiện: 
Xét hàm số f(x) = sinx – cosx – msinx.cosx liên tục trên 
và 
.
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
Bài tập 14. Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0, biết a.f(c) < 0. Chứng minh rằng phương trình a.(ax2 + bx + c)2 + b.(ax2 + bx + c) + c = x có nghiệm.
Lời giải.
Xét hàm số g(x) = a.(ax2 + bx + c)2 + b.(ax2 + bx + c) + c – x liên tục trên ℝ.
Ta có: a.f(c) < 0 ⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 và x1 < c < x2.
Suy ra g(x1) = a.(f(x1))2 + b.f(x1) + c – x1 = c – x1 > 0 và tương tự g(x2) = c − x2 < 0
Do đó g(x1).g(x2) < 0 ⇒ (đpcm).
Bài tập 15. Chứng minh rằng phương trình x5 + 3x + 1 = 0 có đúng một nghiệm.
Lời giải.
Xét hàm số f(x) = x5 + 3x + 1 là hàm liên tục trên ℝ
Mặt khác: f(−1) = −1, f(0) = 1 ⇒ f(−1).f(0) = −1 < 0
Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0).
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2.
Khi đó:
Do:
Nên (1) ⇔ x1 = x2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm (đpcm).
Dạng toán tổng hợp hàm số liên tục
Bài tập 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 = 0.
Lời giải.
Xét tại x0 = 0, ta có:
Suy ra:
Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0.
Bài tập 2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập số thực ℝ.
Lời giải.
TXĐ của hàm số D = ℝ
Với x ≠ 0 thì:
liên tục trên mọi điểm x ≠ 0
Xét tại x = 0:
Do:
Nên ta có:
Trong đó:
+) 
+) 
Suy ra:
Do:
Nên hàm số f(x) gián đoạn tại x = 0
Bài tập 3. Tìm giá trị của m để hàm số sau liên tục tại điểm x0 = 0.
Lời giải.
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại
Bài tập 4. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó.
Lời giải.
TXĐ của hàm số D = [−2; 2].
Với x0 ∈ (−2; 2) \ {0}, ta có:
Mặt khác:
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại mọi x0 ∈ [−2; 2] \ {0}.
Xét tại x0 = 0, ta có: 
Suy ra f(x) liên tục tại x0 = 0.
Vậy f(x) liên tục trên tập xác định D = [−2; 2] của nó.
Bài tập 5. Chứng minh rằng phương trình m(x – 2)3(x – 3) + 2x – 5 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải.
Xét hàm số f(x) = m(x – 2)3(x – 3) + 2x – 5
Ta có: f(x) liên tục trên ℝ;
f(2) = −1, f(3) = 1 ⇒ f(2).f(3) = −1 < 0.
Suy ra f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (2; 3).
Vậy phương trình m(x – 2)3(x – 3) + 2x – 5 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Tài liệu Hàm Số Liên Tục
1. Thông tin tài liệu
| Thông tin | |
| Tên tài liệu | Chuyên Đề Hàm Số Liên Tục |
| Tác giả | verbalearn.org |
| Số trang | 26 |
2. Mục lục
- Tóm tắt lý thuyết
- Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
- Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định
- Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm
3. Xem tài liệu
[ads]
Nguồn tham khảo
Website chỉ sử dụng các nguồn tài liệu toán học uy tín.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số liên tục là gì?
Hàm số liên tục (hàm liên tục) là hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó – được gọi là các điểm gián đoạn. Nói bao quát hơn sự thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch đầu ra cũng nhỏ. Ngược lại với hàm số liên tục là hàm gián đoạn.
Hàm số liên tục khi nào?
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm c trên trục số thực, nếu giới hạn của f(x) khi x tiến tới c, bằng giá trị f(c). Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng. Một hàm số được gọi là gián đoạn tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó.
