Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giới thiệu đến bạn đọc lý thuyết phương sai và độ lệch chuẩn trong các mẫu số liệu thuộc chương trình toán lớp 10. Ứng với mỗi bảng số liệu sẽ có các bài tập vận dụng liên quan đến hai giá trị trên. Từ đó giúp bạn đọc nắm chắc được định nghĩa và cách áp dụng trong các bài toán thường gặp cũng như trong thực tế.
Tóm tắt lý thuyết
[content_1]Định nghĩa
Để đo độ phân tán (độ chênh lệch) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta đưa ra hai số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn.
Phương sai
Định nghĩa. Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước n là x1, x2, …, xn.
Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là , được tính bởi công thức sau
Trong đó: là số trung bình của mẫu số liệu.
Độ lệch chuẩn
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là sx.
Tính chất
[content_2]a) Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán của các số liệu thống kê càng lớn.
b) Phương sai và độ lệch chuẩn sx đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng sx vì sx có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
c) Phương sai còn được tính theo các công thức sau đây:
– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:
Trong đó: ni, fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi.
– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:
Trong đó: ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của giá trị xi.
– Người ta còn chứng minh được công thức sau:
Phân dạng bài tập
[content_3]Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu không ghép lớp
Phương pháp giải
a) Để tính phương sai s2 của một mẫu số liệu {x1; x2; …; xN } ta thực hiện một trong các cách sau:
Cách 1:
– Tính số trung bình:
– Tính các độ lệch:
– Tính các phương sai theo công thức:
Cách 2:
– Tính và
– Tính phương sai theo công thức:
Chú ý: Nếu bảng số liệu được cho bởi bảng phân phối tần số như sau:
Thì phương sai được tính theo công thức:
b) Tính độ lệch chuẩn s: Độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của phương sai:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số dưới đây:
a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng?
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Số trung bình của sản lượng của 40 thửa ruộng là:
b) Tính phương sai:
Cách 1: , thay số vào ta được:
s2 = [5(20 – 22,1)2 + 8(21 – 22,1)2 + 11(22 – 22,1)2 + 10(23 – 22,1)2 + 6(24 – 22,1)2]
=
Hay s2 = 1,54
Cách 2: Ta có:
= 5⋅20 + 8⋅21 + 11⋅22 + 10⋅23 + 6⋅24 = 884
= 5⋅202 + 8⋅212 + 11⋅222 + 10⋅232 + 6⋅242 = 19598
Do đó:
Tính độ lệch chuẩn:
Câu 2. 100 học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho trong bảng sau:
a) Tính sản lượng trung bình.
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
a) Tính số trung bình:
Nên số trung bình là:
b) Ta có: và nên phương sai là:
Độ lệch chuẩn:
Câu 3. Số máy tính bán được trong 7 tháng liên tiếp của một cửa hàng được ghi lại trong bảng sau:
Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Số trung bình là:
Ta có:
Suy ra:
Vậy
Câu 4. Kết quả thi kết thúc học kì một của bạn Hoa được ghi lại trong bảng sau:
Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
= 7,5; s2 ≈ 0,42; s ≈ 0,65
Câu 5. Theo dõi số áo bán ra của 9 loại áo tại một cửa hàng, người ta có dãy số liệu sau (đơn vị: chiếc)
Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
= 41,1; s2 ≈ 63,4; s ≈ 8,0
Câu 6. Trong sổ theo dõi bán hàng ở một cửa hàng bán xe máy có bảng sau:
Tìm số xe trung bình bán được trong ngày. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Trung bình cộng: 48,35; phương sai s2 ≈ 194,64; độ lệch chuẩn 13,95
Câu 7. Bảng số liệu sau cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng A trong năm 2006 (đơn vị là triệu đồng).
Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Trung bình cộng: 16,25; phương sai s2 ≈ 5,02; độ lệch chuẩn 2,24
Câu 8. Theo dõi số bao xi măng bán ra trong 22 ngày tại một cửa hàng bán vật liệu xây dựng ta có bảng sau:
Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Trung bình cộng: 47,95; phương sai s2 ≈ 123,13; độ lệch chuẩn 11,09
Câu 9. Bảng sau đây ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ôtô.
Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Trung bình cộng: 70,70; phương sai s2 ≈ 38,21; độ lệch chuẩn 6,18
Câu 10. Số liệu sau đây cho ta số lãi mỗi tháng của một cửa hàng năm 2004 (đơn vị: triệu đồng).
Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Hướng dẫn giải
Trung bình cộng: 16; phương sai s2 ≈ 5,9; độ lệch chuẩn 2,43
Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp
[content_4]Phương pháp giải
Để tính phương sai của bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp ta dùng công thức:
Trong đó:
- ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thức i;
- ci được tính bằng trung bình cộng của 2 giá trị đầu mút của lớp i;
- n là số các số liệu thống kê (n = n1 + n2 + …+ nk);
- x là số trung bình cộng của các số trong số liệu thống kê đã cho.
⨂ Người ta còn chứng minh được công thức:
Độ lệch chuẩn sx được tính bởi công thức:
Bài tập vận dụng
Ví dụ sau sử dụng công thức để tính phương sai.
Câu 1. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau
Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta có:
Khi đó phương sai:
Độ lệch chuẩn;
Ví dụ sau sử dụng công thức để tính phương sai.
Câu 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau
Khối lượng của 30 của khoai tây
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta tính các giá trị và bổ sung vào bảng đã cho, ta được bảng sau:
Từ đó, ta tính được = 95 và = 9145. Áp dụng công thức , ta tính được = 120 và .
Ví dụ sau cho bảng phân bố tần suất ghép lớp. Ta tính và dựa trên tần suất.
Câu 3. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau
Chiều cao của 35 cây bạch đàn
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần suất ghép lớp đã cho.
Hướng dẫn giải
Trước hết ta tính ra các giá trị fici, cuối bảng sẽ có được , từ đó tính , cuối bảng sẽ có .
Như vậy ta được phương sai = 0,411164, suy ra sx ≈ 0,641221.
Ví dụ sau sử dụng sự hỗ trợ của máy tính fx − 570ES PLUS để tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Câu 4. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau
Khối lượng của nhóm 20 cá mè
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.
Hướng dẫn giải
Trước hết, ta chọn để dùng chế độ thống kê với 1 đối tượng thống kê.
Sau đó ta vào để vào chế độ thống kê và chọn để nhập dữ liệu.
Nhập các giá trị đại diện trong cột X trên màn hình. Sau khi nhập xong, chuyển qua cột FREQ bằng phím và nhập các tần số tương ứng với các giá trị đại diện.
Nhập xong bấm . Để tính độ lệch chuẩn, ta bấm , kết quả là sx = 0,2049390153, ta tính phương sai bằng cách bình phương giá trị trên, bấm tiếp , ta được = 0,042.
Câu 5. Nhiệt độ trung bình của tháng 2 ở một thành phố đo trong 30 năm được cho trong bảng sau:
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố đã cho.
Hướng dẫn giải
Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: ≈ 3,93; sx ≈ 1,98.
Câu 6. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố sau
Chiều cao của 36 học sinh
Hướng dẫn giải
Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: ≈ 30,97; sx = 5,57.
Câu 7. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố sau:
Tiền lãi của mỗi ngày bán báo được khảo sát trong 30 ngày
Hướng dẫn giải
Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: ≈ 271, 71; sx = 16,48.
Câu 8. Trong một trường THPT, cho kiểm tra toán ở 2 lớp 10A và 10B và lập được bảng tần số ghép lớp như sau:
Điểm thi toán của lớp 10A
Điểm thi toán của lớp 10B
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng phân bố tần số ghép lớp trên và cho kết luận.
Hướng dẫn giải
Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả
– Lớp 10A: = 3,23; sx = 1,8.
– Lớp 10B: = 4,65; sx = 2,16.
Từ đó cho thấy độ phân tán của lớp 10B nhiều hơn độ phân tán của lớp 10A so với giá trị trung bình của dữ liệu.
Câu 9. Một nông dân nuôi cá có 2 ao nuôi cùng một loại cá. Ông ta bắt mỗi ao 24 con cá và cân. Sau đây là bảng phân bố khối lượng 2 nhóm cá.
Nhóm cá thứ nhất
Nhóm cá thứ hai
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng phân bố tần số ghép lớp trên và cho kết luận.
Hướng dẫn giải
Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả
– Nhóm cá thứ nhất: = 33,16; sx = 5,76.
– Nhóm cá thứ hai: = 17,66; sx = 4,2.
Từ đó cho thấy độ phân tán của nhóm cá thứ hai ít hơn độ phân tán của nhóm cá thứ nhất so với giá trị trung bình của dữ liệu.
Câu 10. Một trang trại trồng hai loại táo A và B. Chủ trang trại phải lựa chọn một loại táo có trọng lượng các quả táo ít bị phân tán để xuất khẩu. Sau vụ thu hoạch, ông đã cân trọng lượng của 100 quả táo. Các số liệu được tóm tắt trong bảng tần số sau:
Trọng lượng các quả táo loại A
Trọng lượng các quả táo loại B
Em hãy cho biết chủ trang trại sẽ chọn loại táo nào để xuất khẩu?
Hướng dẫn giải
Ta có:
Áp dụng công thức ta được phương sai của mỗi bảng số liệu lần lượt là:
Vì nên trọng lượng các quả táo loại B sẽ đồng đều hơn loại A.
Do đó chủ trang trại sẽ chọn loại táo B để xuất khẩu.
Câu 11. Trên hai con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ô tô trên mỗi con đường như sau:
Con đường A:
Con đường B:
a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ôtô trên mỗi con đường A, B.
b) Theo em thì chạy xe trên con đường nào an toàn hơn?
Hướng dẫn giải
a) Trên con đường A.
Ta có: ≈ 73,63 km/h; ≈ 74,77; sA ≈ 8,65 km/h.
Trên con đường B.
Ta có: ≈ 70,7 km/h; ≈ 38,21; sB ≈ 6,18 km/h.
b) Nhận xét:
Trên con đường B, tốc độ trung bình và độ lệch chuẩn đều nhỏ hơn trên con đường A.
Do đó chạy xe trên con đường B sẽ an toàn hơn trên con đường A.