Lý thuyết giá trị lượng giác của cung
1. Định nghĩa
+) 
+) 
+) 
+) 
Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục cosin.
Chú ý:
+) Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
+) Nếu 0° ≤ α ≤ 180° thì các giá trị lượng giác của góc α chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
2. Hệ quả
+) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa
sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ ℤ.
cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ ℤ.
+) −1 ≤ sinα ≤ 1 và −1 ≤ cosα ≤ 1.
+) Với mọi m ∈ R mà −1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α, β sao cho sinα = m và cosβ = m.
+) tanα xác định với mọi 
+) cotα xác định với mọi α ≠ kπ, k ∈ ℤ.
+) Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung 
trên đường tròn lượng giác.
3. Ý nghĩa hình học của tang và côtang
+) tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ 
trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.
Do đó: 
+) cotα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ 
trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.
Do đó: 
4. Công thức lượng giác cơ bản
+) 
+) 
+) 
+) 
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
+) Cung đối nhau.
cos(−α) = cosα.
sin(−α) = −sinα.
tan(−α) = −tanα.
cot(−α) = −cotα.
+) Cung bù nhau.
cos(π − α) = −cosα.
sin(π − α) = sinα.
tan(π − α) = −tanα.
cot(π − α) = −cotα.
+) Cung hơn kém π.
cos(α + π) = −cosα.
sin(α + π) = −sinα.
tan(α + π) = tanα.
cot(α + π) = cotα.
+) Cung phụ nhau.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một góc α ta xác định vị trí điểm cuối của cung trên đường tròn lượng giác. Điểm M thuộc góc phần tư nào thì ta áp dụng bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác.
Ví dụ 1. Xác định dấu các biểu thức:
a) A = sin 50°⋅cos(−100°)
b) 
Lời giải.
a) A = sin 50°⋅cos(−100°)
Ta có: điểm cuối của cung 50° thuộc góc phần tư thứ I nên sin 50° > 0.
Điểm cuối của cung −100° thuộc góc phần tư thứ III nên cos(−100°) < 0.
Do đó, A < 0.
b)
Ta có: điểm cuối của cung 195° thuộc góc phần tư thứ III nên sin 195° < 0.
Điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ II nên 
.
Do đó, B > 0.
Ví dụ 2. Xác định dấu các biểu thức:
a) 
b) 
Lời giải.
a)
Ta có: điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ I nên 
Điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ III nên 
Do đó, A < 0.
b)
Ta có: điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ II nên 
Điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ I nên 
Điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ III nên 
Điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ IV nên 
Do đó, B > 0.
Ví dụ 3. Cho 
. Xét dấu các biểu thức sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a)
b)
Bài tập tự luyện
Bài 1. Xác định dấu của sinα, cosα, tanα, biết:
a) 
b) 
c) 
Lời giải.
a)
Ta có: điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ IV nên sinα < 0, cosα > 0, tanα < 0.
b)
Ta có: điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ III nên sinα < 0, cosα < 0, tanα > 0.
c)
Ta có: điểm cuối của cung α thuộc góc phần tư thứ II nên sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0.
Bài 2. Cho 0° < α < 90°. Xét dấu các biểu thức sau:
a) A = cos(α +90°).
b) B = sin(α + 80°).
Lời giải.
a) A = cos(α + 90°) = cos(90° − (−α)) = sin(−α) = −sinα.
Vì 0° < α < 90° nên sinα > 0.
Do đó, A < 0.
b) B = sin(α + 80°).
Vì 0° < α < 90° nên 80° < α + 80° < 170°.
Do đó, điểm cuối của cung α + 80° thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II nên B > 0.
Bài 3. Cho 90° < α < 180°. Xét dấu các biểu thức sau:
a) A = sin(270° − α).
b) B = cos(2α + 90°).
Lời giải.
a) A = sin(270° − α).
Vì −180° < −α < −90° nên 90° < 270° − α < 180°.
Do đó, điểm cuối của cung 270° − α thuộc góc phần tư thứ II nên A > 0.
b) B = cos(2α + 90°).
Ta có: B = cos(2α + 90°) = cos(90° − (−2α)) = sin(−2α) = −sin(2α).
Vì 180° < 2α < 360° nên sin(2α) < 0.
Do đó, B > 0.
Bài 4. Cho 
. Xét dấu các biểu thức sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a)
Vì nên 
Do đó, điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ II hoặc thứ III.
Vậy A < 0.
b)
Vì nên 
Do đó, điểm cuối của cung 
thuộc góc phần tư thứ IV hoặc thứ I.
Vậy B > 0.
Bài 5. Cho . Xét dấu các biểu thức sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a)
b)
Bài 6. Cho tam giác ABC. Xét dấu của biểu thức P = cos a⋅cosB⋅cosC trong các trường hợp:
a) Tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Tam giác ABC là tam giác tù.
Lời giải.
a) Tam giác ABC là tam giác nhọn.
Vì tam giác ABC nhọn nên A < 90°, B < 90°, C < 90° hay cos a > 0, cosB > 0, cosC > 0.
Vậy P = cos a⋅cosB⋅cosC > 0.
b) Tam giác ABC là tam giác tù.
Vì tam giác ABC là tam giác tù nên ∆ABC có duy nhất một góc tù.
Giả sử góc tù góc A ⇒ cos a < 0 và cosB > 0, cosC > 0.
Vậy P = cos a⋅cosB⋅cosC < 0.
Dạng 2. Tính giá trị lượng giác của một cung
Để tính giá trị lượng giác của 1 cung ta dựa vào các hằng đẳng thức lượng giác:
;
;
Ngoài ra, cần phải xác định dấu của các hàm số lượng giác của cung đó.
Ví dụ 1. Biết 
và 
. Tính giá trị của cosα và tanα.
Lời giải.
Do nên cosα < 0 (1)
Mặt khác: nên
Từ (1) và (2), suy ra 
Từ đó suy ra: 
Ví dụ 2. Cho 
ở đó 
. Tính giá trị của sinα.
Lời giải.
Ta có:
Từ đó suy ra:
Do nên sinα > 0, do đó 
Ví dụ 3. Cho tanα = 2, tính giá trị biểu thức M = cos2α − sin2α.
Lời giải.
Ta có: 
Chia cả tử và mẫu cho cos2α ta được:
Ví dụ 4. Cho cotα = 3. Tính giá trị biểu thức 
.
Lời giải.
Ta có:
Ví dụ 5. Cho và 
. Biết 
với a, b ∈ ℚ và 
là phân số tối giản.
Tính M = p − q.
Lời giải.
Do nên π < 2α < 2π ⇒ sin 2α < 0.
Suy ra: 
Vậy M = −3.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Biết sinα + cosα = 
và sinα > cosα. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sinα⋅cosα.
b) B = sinα − cosα.
Lời giải.
a) Ta có:
Từ đó suy ra:
b) Theo giả thiết ta có B > 0 và
Từ đó suy ra: 
Bài 2. Cho 
và . Tính sinα và tanα.
Lời giải.
Ta có:
Do nên sinα > 0, do đó 
.
Từ đó ta có: 
Bài 3. Cho tanα + cotα = 2. Tính giá trị biểu thức P = cot3α + tan3α.
Lời giải.
cot3α + tan3α
= (cotα + tanα)3 − 3cotα⋅tanα⋅(cotα + tanα)
= 23 − 3⋅2 = 2.
Bài 4. Cho 
với . Tính giá trị của biểu thức
Lời giải.
Ta có: P = sinα − 2cotα.
với
Do đó: 
Bài 5. Cho 
, tính giá trị của biểu thức
Lời giải.
Dễ thấy cosα ≠ 0, chia cả tử và mẫu của biểu thức M cho cos2α ta được:
Dạng 3. Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác
Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt.
Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của góc 
.
Lời giải.
Ta có: 
Ví dụ 2. Cho 
. Tính 
Lời giải.
Ta có:
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức
Lời giải.
Ta có: 
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng sin(A + B + 2C) = −sinC.
Lời giải.
Ta có: A + B + C = 180° ⇒ A + B + 2C = 180° + C.
⇒ sin(A + B + 2C) = sin(180° + C) = −sinC.
Ví dụ 5. Tính giá trị của biểu thức B = cos 20° + cos 40° + cos 60° + … + cos 180°.
Lời giải.
Ta có:
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho 
với 
. Tính 
.
Lời giải.
Ta có:
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức
Lời giải.
Ta có:
Bài 3. Rút gọn biểu thức
Lời giải.
Ta có:
Bài 4. Rút gọn biểu thức
Lời giải.
Ta có:
Suy ra: 
Bài 5. Với điều kiện có nghĩa, hãy rút gọn biểu thức sau:
với π < x < 2π.
Lời giải.
Ta có: sin(x + 2013π) = sin(x + π + 1006⋅2π) = sin(x + π) = −sinx.
Do đó:
Vì π < x < 2π ⇒ sinx < 0 nên 
Dạng 4. Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức
Một số hệ thức hay dùng trong bài toán rút gọn biểu thức hoặc chứng minh đẳng thức:
+)
+)
+)
+)
Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:
A = sin2x + sin2x⋅tan2x.
Lời giải.
Ta có:
Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:
Lời giải.
Ta có:
Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức:
A = sin2α⋅cos2α + cos2α + sin4α.
Lời giải.
Ta có:
A = sin2α (1 − sin2α) + cos2α + sin4α
= sin2α − sin4α + cos2α + sin4α = 1
Ví dụ 4. Chứng minh rằng
Lời giải.
Ta có:
Bài tập tự luyện
Bài 1. Rút gọn biểu thức:
Lời giải.
Ta có:
Bài 2. Rút gọn biểu thức:
Lời giải.
Ta có:
Bài 3. Rút gọn biểu thức:
C = (tanx − cotx)2 − (tanx + cotx)2.
Lời giải.
Ta có:
C = tan2x − 2tanx⋅cotx + cot2x − tan2x − 2tanx⋅cotx − cot2x
= −4tanx⋅cotx = −4
Bài 4. Rút gọn biểu thức
B = 3[(sin4x)2 − (cos4x)2] + 4[(cos2x)3 −2(sin2x)3] + 6sin4x.
Lời giải.
Đặt t = sin2x thì ta có cos2x = 1 − t.
B = 3(sin4x + cos4x)(sin4x − cos4x) + 4[(cos2x)3 −2(sin2x)3] + 6sin4x
= 3[t2 + (1 − t)2][t2 − (1 − t)2] + 4[(1 − t)3 − 2t3] + 6t2 = 1
Bài 5. Chứng minh rằng:
Lời giải.
Hướng dẫn
Xét hiệu:
Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho sinα + cosα = m. Tính các giá trị của tan2α + cot2α.
Lời giải.
Hướng dẫn
Có 
Khi đó:
Bài 2. Chứng minh rằng biểu thức sau độc lập với x; y.
Lời giải.
Ta có:
Như vậy, giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của x; y.
Bài 3. Chứng minh biểu thức sau độc lập với đối với x.
Lời giải.
Vậy P không phụ thuộc vào x.
Bài 4. Cho 
và 
. Tính sin a và cos a.
Lời giải.
Ta có:
Suy ra, 
hoặc 
Xét hai trường hợp:
+) và
Giá trị sin a, cos a là nghiệm của phương trình
Vì nên sin a > 0 và cos a < 0
Vậy 
và 
+) và
Giá trị sin a, cos a là nghiệm của phương trình
Vì nên sin a > 0 và cos a < 0
Vậy 
và 
Vậy và hoặc và
Bài 5. Cho 
. Tính 
với 
.
Lời giải.
Ta có:
Lại có:
Bài 6. Cho 
. Tính giá trị của biểu thức:
Lời giải.
Ta có:
Bài 7. Cho 6cos2α + cosα − 2 = 0. Biết 
với a, b ∈ ℚ. Tính giá trị của biểu thức a + b.
Lời giải.
Điều kiện: 
Ta có:
Do 
nên 
Mặt khác:
Từ đó suy ra:
Bài 8. Cho 
, biết 
với a, b ∈ Q. Tính 
.
Lời giải.
Ta có:
Từ đó suy ra:
Bài 9. Cho sinα + 3cosα = 2, ở đó 0 < α < π. Tính tanα.
Lời giải.
Do 0 < α < π nên 
Từ giả thiết ta có: sinα = 2 − 3cosα.
Mà: sin2α + cos2α = 1 nên (2 − 3cosα)2 + cos2α = 1.
Từ đó suy ra:
Nếu 
thì 
(loại)
Nếu 
thì 
(thỏa mãn)
Từ đó suy ra: 
