Làm chủ phần liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Trong bài viết này Dân Chuyên Toán sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương. Qua đó ứng dụng để giải một vài dạng toán đặc trưng như: Khai phương một tích, nhân các căn bậc hai, rút gọn và tính giá trị của biểu thức.

Lý thuyết

Định lí

Với hai số a và b không âm, ta có:

$\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b$

Áp dụng

Muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý:

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có: $\sqrt {AB} = \sqrt A \cdot \sqrt B$ và ngược lại $\sqrt A \cdot \sqrt B = \sqrt {AB}$ .

Đặc biệt khi A ≥ 0, ta có: ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}} = A$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Khai phương một tích

Phương pháp giải

Dựa vào quy tắc khai phương một tích:

Với a, b ≥ 0 thì $\sqrt {ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính:

a) $\sqrt {12,1 \cdot 160}$

b) $\sqrt {2500 \cdot 4,9 \cdot 0,9}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {12,1 \cdot 160} = \sqrt {121} \cdot \sqrt {16} = 11 \cdot 4 = 44$

b) $\sqrt {2500 \cdot 4,9 \cdot 0,9}$

$\begin{gathered} = \sqrt {25 \cdot 49 \cdot 9} = \sqrt {25} \cdot \sqrt {49} \cdot \sqrt 9 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 5 \cdot 7 \cdot 3 = 105\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Tính:

a) $\sqrt {{{41}^2} - {{40}^2}}$

b) $\sqrt {81 \cdot 6,25 - 2,25 \cdot 81}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {{{41}^2} - {{40}^2}}$

$= \sqrt {\left( {41 - 40} \right)\left( {41 + 40} \right)} = \sqrt {1 \cdot 81} = 1 \cdot 9 = 9$

b) $\sqrt {81 \cdot 6,25 - 2,25 \cdot 81}$

$= \sqrt {81\left( {6,25 - 2,25} \right)} = \sqrt {81} \cdot \sqrt 4 = 9 \cdot 2 = 18$

Câu 3. Đẳng thức $\sqrt {x\left( {1 - y} \right)} = \sqrt x \cdot \sqrt {1 - y}$ đúng với những giá trị nào của x và y.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí khai phương một tích thì

$\sqrt {x\left( {1 - y} \right)} = \sqrt x \cdot \sqrt {1 - y}$ khi x ≥ 0 và 1 – y ≥ 0 hay x ≥ 0 và y ≤ 1

Câu 4. Cho các biểu thức $M = \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}$ và $N = \sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {x + 3}$

a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa; N có nghĩa.

b) Với giá trị nào của x thì M = N?

Hướng dẫn giải:

a) M có nghĩa khi (x – 1)(x + 3) ≥ 0

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{gathered} x - 1 \geqslant 0 \hfill \\ x + 3 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 1 \hfill \\ x \geqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant 1$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{gathered} x - 1 \leqslant 0 \hfill \\ x + 3 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \leqslant 1 \hfill \\ x \leqslant - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \leqslant - 3$

Vậy M có nghĩa khi x ≥ 1 hoặc x ≤ −3.

N có nghĩa khi

b) Để M và N đồng thời có nghĩa thì x ≥ 1

Khi đó ta có M = N theo định lí khai phương một tích.

Dạng 2. Nhân các căn bậc hai

Phương pháp giải

Dựa vào quy tắc nhân các căn bậc hai:

Với a, b ≥ 0 thì $\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt {ab}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính:

a) $\sqrt {72} \cdot \sqrt {50}$

b) $\sqrt {12,8} \cdot \sqrt {0,2}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {72} \cdot \sqrt {50}$

$= \sqrt {72 \cdot 50} = \sqrt {36 \cdot 100} = 6 \cdot 10 = 60$

b) $\sqrt {12,8} \cdot \sqrt {0,2}$

$\begin{gathered} = \sqrt {12,8 \cdot 0,2} = \sqrt {128 \cdot 0,02} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {64 \cdot 0,04} = 8 \cdot 0,2 = 1,6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Tính:

a) $\sqrt {40} \cdot \sqrt {20} \cdot \sqrt {4,5}$

b) $\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot \sqrt {\frac{{12}}{{25}}} \cdot \sqrt {\frac{1}{2}}$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {40} \cdot \sqrt {20} \cdot \sqrt {4,5}$

$= \sqrt {40 \cdot 20 \cdot 0,5} = \sqrt {400 \cdot 9} = 20 \cdot 3 = 60$

b) $\sqrt {\frac{2}{3}} \cdot \sqrt {\frac{{12}}{{25}}} \cdot \sqrt {\frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{2}{3} \cdot \frac{{12}}{{25}} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt {\frac{4}{{25}}} = \frac{2}{5}$

Câu 3. Thực hiện các phép tính:

a) $\left( {\sqrt {20} + \sqrt {45} - \sqrt 5 } \right)\sqrt 5$

b) $\left( {\sqrt {12} + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt {27} - \sqrt 3 } \right)$

c) $\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

Hướng dẫn giải:

a) $\left( {\sqrt {20} + \sqrt {45} - \sqrt 5 } \right)\sqrt 5$

$= \sqrt {100} + \sqrt {225} - \sqrt {25} = 10 + 15 - 5 = 20$

b) $\left( {\sqrt {12} + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt {27} - \sqrt 3 } \right)$

$\begin{gathered} = \sqrt {324} - \sqrt {36} + \sqrt {81} - \sqrt 9 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 18 - 6 + 9 - 3 = 18\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

$= 5 - \sqrt 5 - \sqrt {15} + \sqrt 3 + \sqrt 5 - 1 = 4 - \sqrt {15} + \sqrt 3$

Câu 4. Tính:

a) ${\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)^2}$

b) ${\left( {\sqrt 8 - \sqrt 2 } \right)^2}$

c) $\left( {3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 } \right)\left( {3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 } \right)$

Hướng dẫn giải:

a) ${\left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)^2}$

$\begin{gathered} = {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} + 2 \cdot \sqrt 7 \cdot \sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 7 + 2\sqrt {21} + 3 = 10 + 2\sqrt {21} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) ${\left( {\sqrt 8 - \sqrt 2 } \right)^2}$

$\begin{gathered} = {\left( {\sqrt 8 } \right)^2} - 2 \cdot \sqrt 8 \cdot \sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = 8 - 2\sqrt {16} + 2 = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $\left( {3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 } \right)\left( {3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 } \right)$

$= {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2\sqrt 7 } \right)^2} = 25 \cdot 3 - 4 \cdot 7 = 47$

Dạng 3. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải

– Trước hết tìm điều kiện của biến để biểu thức có nghĩa (nếu cần).

– Áp dụng quy tắc khai phương một tích, quy tắc nhân các căn bậc hai, các hằng đẳng thức để rút gọn.

– Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút gọn rồi thực hiện các phép tính.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {\frac{{3x}}{5}} \cdot \sqrt {\frac{{5x}}{{27}}}$ với x > 0

b) $\sqrt {{x^6}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}$ với x > 2

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {\frac{{3x}}{5}} \cdot \sqrt {\frac{{5x}}{{27}}}$

$= \sqrt {\frac{{3x}}{5} \cdot \frac{{5x}}{{27}}} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{9}} = \frac{{\left| x \right|}}{3} = \frac{x}{3}$ (vì x > 0)

b) $\sqrt {{x^6}{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^6}} \cdot \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}$

$= \left| {{x^3}} \right| \cdot \left| {x - 2} \right| = {x^3}\left( {x - 2} \right)$ (vì x > 2)

Câu 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {15{x^3} \cdot \frac{{60}}{x}}$

b) $\sqrt {16\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}$

Hướng dẫn giải:

a) ĐK: x ≠ 0.

$\begin{gathered} \sqrt {15{x^3} \cdot \frac{{60}}{x}} = \sqrt {900{x^2}} = 30\left| x \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left\{ \begin{gathered} 30x{\text{ }}khi{\text{ }}x > 0 \hfill \\ - 30x{\text{ }}khi{\text{ }}x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) $\sqrt {16\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)}$

$\begin{gathered} = \sqrt {16{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 4\left| {x - 3} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left\{ \begin{gathered} 4\left( {x - 3} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 3 \hfill \\ - 4\left( {x - 3} \right){\text{ }}khi{\text{ }}x < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Rút gọn biểu thức

$M = \sqrt {25{x^2}\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}$ với 0 < x < 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $M = \sqrt {25{x^2}\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right)}$

$= \sqrt {25{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} = 5\left| {\sqrt x - 1} \right|$

Vì x > 0 nên |x| = x

Vì 0 < x < 1 nên $\sqrt x < 1$ .

Do đó: $\left| {\sqrt x - 1} \right| = 1 - \sqrt x$

Vậy $M = 5\left( {1 - \sqrt x } \right)$

Câu 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }$

b) $\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

c) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }$

$= \sqrt {3 + 2 \cdot \sqrt 3 \cdot 1 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$

b) $\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

$\begin{gathered} = \sqrt {5 - 2 \cdot \sqrt 5 \cdot \sqrt 3 + 3} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt 5 - \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) $\sqrt {9 - 4\sqrt 5 }$

$= \sqrt {5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 - 2$

Nhận xét: Phương pháp giải trong ví dụ này là biến đổi biểu thức lấy căn thành bình phương của tổng hay hiệu hai số rồi áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ .

Câu 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }$

b) $\sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} }$

Hướng dẫn giải:

a) ĐK: x ≥ 1

$\begin{gathered} \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} = \sqrt {x - 1} + 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) ĐK: x ≥ –1

$\begin{gathered} \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {x + 1 - 2\sqrt {x + 1} + 1} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1} - 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right|\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu x ≥ 0 thì $\left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = \sqrt {x + 1} - 1$

Nếu x < 0 thì $\left| {\sqrt {x + 1} - 1} \right| = 1 - \sqrt {x + 1}$

Dạng 4. Biến đổi một biểu thức về dạng tích

Phương pháp giải

Dùng cách đặt nhân tử chung, nhóm các hạng tử, dùng các hằng đẳng thức, …

Bài tập vận dụng

Câu 1. Phân tích thành nhân tử:

a) $3 - \sqrt 3$

b) $x + 3\sqrt {xy}$

c) $x\sqrt y - y\sqrt x$

d) $x - \sqrt x - \sqrt {xy} + \sqrt y$

Hướng dẫn giải:

a) $3 - \sqrt 3 = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)$

b) ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

$x + 3\sqrt {xy} = \sqrt x \left( {\sqrt x + 3\sqrt y } \right)$

c) ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

$x\sqrt y - y\sqrt x = \sqrt {xy} \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)$

d) ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

$\begin{gathered} x - \sqrt x - \sqrt {xy} + \sqrt y \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \sqrt y \left( {\sqrt x - 1} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Phân tích thành nhân tử:

a) $\sqrt {{x^3}} - 25\sqrt x$

b) $9x + 6\sqrt {xy} + y$

c) $\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}}$

d) $\sqrt {{x^2} - 9} - 2\sqrt {x - 3}$

Hướng dẫn giải:

a) ĐK: x ≥ 0

$\begin{gathered} \sqrt {{x^3}} - 25\sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt {{x^2}} - 25} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{ = \sqrt x \left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

b) ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

$9x + 6\sqrt {xy} + y = {\left( {3\sqrt x + \sqrt y } \right)^2}$

c) ĐK: x ≥ 0; y ≥ 0

$\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{y^3}} = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)$

d) ĐK: x ≥ 3

$\sqrt {{x^2} - 9} - 2\sqrt {x - 3} = \sqrt {x - 3} \left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)$

Câu 3. Rút gọn biểu thức:

$\left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} }$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \left( {\sqrt {14} + \sqrt 6 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {5 - \sqrt {21} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {10 - 2\sqrt {7 \cdot 3} } \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ = \left( {\sqrt 7 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right) = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 5. Giải phương trình

Phương pháp giải

– Trước tiên tìm điều kiện để căn thức có nghĩa.

– Áp dụng quy tắc khai phương một tích, áp dụng các hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ ; ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ (với A ≥ 0) đưa phương trình đã cho về phương trình đơn giản hơn.

– Có thể đưa về phương trình tích.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải phương trình: $\sqrt {25{{\left( {x + 5} \right)}^2}} = 15$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt {25{{\left( {x + 5} \right)}^2}} = 15$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 5\left| {x + 5} \right| = 15 \Leftrightarrow \left| {x + 5} \right| = 3\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 5 = 3 \hfill \\ x + 5 = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Giải phương trình:

$\sqrt {9{x^2} - 90x + 225} = 6$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt {9{x^2} - 90x + 225} = 6$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt {9\left( {{x^2} - 10x + 25} \right)} = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {9{{\left( {x - 5} \right)}^2}} = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 3\left| {x - 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {x - 5} \right| = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 5 = 2 \hfill \\ x - 5 = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 7 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Giải phương trình:

$\sqrt {{x^2} - 25} = 2\sqrt {x - 5}$

Hướng dẫn giải

ĐK: $\left\{ \begin{gathered} {x^2} - 25 \geqslant 0 \hfill \\ x - 5 \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} \geqslant 5 \hfill \\ x \geqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \geqslant 5$

Khi đó: $\sqrt {{x^2} - 25} = 2\sqrt {x - 5}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)} - 2\sqrt {x - 5} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} \left( {\sqrt {x + 5} - 2} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt {x - 5} = 0 \hfill \\ \sqrt {x + 5} - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \sqrt {x - 5} = 0 \hfill \\ \sqrt {x + 5} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x - 5 = 0 \hfill \\ x + 5 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 5{\text{ }}\left( {TM} \right) \hfill \\ x = - 1{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Giải phương trình:

$\sqrt {x - 5} + \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = \frac{1}{5}\sqrt {25x - 125} + 6$

Hướng dẫn giải

ĐK: x ≥ 5

Ta có:

$\begin{gathered} \sqrt {x - 5} + \frac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = \frac{1}{5}\sqrt {25x - 125} + 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} + \frac{1}{3}\sqrt {9\left( {x - 5} \right)} = \frac{1}{5}\sqrt {25\left( {x - 5} \right)} + 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} = \sqrt {x - 5} + 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 6\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x - 5 = 36\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 41{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 5. Giải phương trình: $\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = 2$

Hướng dẫn giải

ĐK: x > 0

Ta có: $\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} = 2$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }} - 2 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x }} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt x - 1 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow x = 1{\text{ }}\left( {TM\rlap{--} DK} \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 6. Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải

Có thể dùng các phương pháp sau:

– Với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a ≤ b ⇔ a² ≤ b²

– Biến đổi tương đương.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng:

$\sqrt 5 + \sqrt 8 < \sqrt 6 + \sqrt 7$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sqrt 5 + \sqrt 8 < \sqrt 6 + \sqrt 7$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 8 } \right)^2} < {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 7 } \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 5 + 2\sqrt {40} + 8 < 6 + 2\sqrt {42} + 7\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 13 + 2\sqrt {40} < 13 + 2\sqrt {42} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {40} < \sqrt {42} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 40 < 42\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Câu 2. Không dùng máy tính hoặc bảng số, chứng minh rằng:

$\sqrt 3 + 2 < \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} {\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} = 3 + 4\sqrt 3 + 4 = 7 + 4\sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ {\left[ {\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)} \right]^2} = 2{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = 2\left( {3 + 2\sqrt 3 + 1} \right) = 8 + 4\sqrt 3 \hfill \\ \end{gathered}$

Vì $7 + 4\sqrt 3 < 8 + 4\sqrt 3$

Nên ${\left( {\sqrt 3 + 2} \right)^2} < {\left[ {\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)} \right]^2}$

Do đó: $\sqrt 3 + 2 < \sqrt 2 \left( {\sqrt 3 + 1} \right)$

Câu 3. Cho a > 0, chứng minh rằng: $\sqrt {a + 9} < \sqrt a + 3$

Hướng dẫn giải

Ta có: ${\left( {\sqrt {a + 9} } \right)^2} = a + 9$

${\left( {\sqrt a + 3} \right)^2} = a + 6\sqrt a + 9$

Do a > 0 nên $a + 9 < a + 6\sqrt a + 9$ , do đó ${\left( {\sqrt {a + 9} } \right)^2} < {\left( {\sqrt a + 3} \right)^2}$

Vậy $\sqrt {a + 9} < \sqrt a + 3$

Chú ý: Căn bậc hai của một tổng không bằng tổng các căn bậc hai.

Câu 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

a) $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

b) $a + b + c \geqslant \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow a + b - 2\sqrt {ab} \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \geqslant 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức cuối này đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Lưu ý: Bất đẳng thức $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$ với a, b ≥ 0 gọi là bất đẳng thức Côsi.

b) Ta có: a, b, c ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi đối với hai số ta được:

$\begin{gathered} a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b + c \geqslant 2\sqrt {bc} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ c + a \geqslant 2\sqrt {ca} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Công từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$2\left( {a + b + c} \right) \geqslant 2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} } \right)$

Suy ra: $a + b + c \geqslant \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca}$ (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c).

Câu 5. Cho $a \geqslant \frac{1}{2}$ , chứng minh rằng: $\sqrt {2a - 1} \leqslant a$

Hướng dẫn giải

Từ bất đẳng thức Côsi $a + b \geqslant 2\sqrt {ab}$ suy ra $\sqrt {ab} \leqslant \frac{{a + b}}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức này cho các số không âm 2a – 1 và 1 ta được:

$\sqrt {2a - 1} = \sqrt {\left( {2a - 1} \right) \cdot 1} \leqslant \frac{{\left( {2a - 1} \right) + 1}}{2} = a$

Vậy $\sqrt {2a - 1} \leqslant a$ (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 1).

Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính

a) $\sqrt {400 \cdot 0,81}$

b) $\sqrt {\frac{5}{{27}} \cdot \frac{3}{{20}}}$

c) $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} \cdot {3^2}}$

d) $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2} \cdot {{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}$

Đáp số

a) 18

b) $\frac{1}{6}$

c) 15

d) 1

Câu 2. Tính

a) $\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)$

b) $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$

c) $\left( {\sqrt {\frac{{25}}{3}} - \sqrt {\frac{{49}}{3}} + \sqrt 3 } \right)\sqrt 3$

d) $\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)$

Đáp số

a) $x - \sqrt x - 6$

b) x – y

c) 1

d) $2\sqrt 3 - 1$

Câu 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt 3 + \sqrt {8 - 2\sqrt {15} }$

b) $\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 2} }$

Đáp số

a) $\sqrt 5$

b) $\left\{ \begin{gathered} \sqrt {x - 2} - 1{\text{ }}khi{\text{ }}x \geqslant 3 \hfill \\ 1 - \sqrt {x - 2} {\text{ }}khi{\text{ }}x < 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Câu 4. Phân tích thành nhân tử

a) $a - 5\sqrt a$

b) a – 7 với a > 0

c) $a + 4\sqrt a + 4$

d) $\sqrt {xy} - 4\sqrt x + 3\sqrt y - 12$

Đáp số

a) $\sqrt a \left( {\sqrt a - 5} \right)$

b) $\left( {\sqrt a - \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt 7 } \right)$

c) ${\left( {\sqrt a + 2} \right)^2}$

d) $\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt y - 4} \right)$

Câu 5. Giải phương trình

a) $\sqrt {49\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)} - 35 = 0$

b) $\sqrt {{x^2} - 9} - 5\sqrt {x + 3} = 0$

c) $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$

Hướng dẫn giải

a) x₁ = 6; x₂ = –4

b) x₁ = –3; x₂ = 28

c) x = 25

Câu 6. Tìm x và y, biết:

$x + y + 13 = 2\left( {2\sqrt x + 3\sqrt y } \right)$

Hướng dẫn giải

ĐK: x, y ≥ 0

$\begin{gathered} x + y + 13 = 4\sqrt x + 6\sqrt y \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 4\sqrt x + 4} \right) + \left( {y - 6\sqrt y + 9} \right) = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} + {\left( {\sqrt y - 3} \right)^2} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} = 0 \hfill \\ {\left( {\sqrt y - 3} \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 7. Chứng minh rằng: $\sqrt 7 - \sqrt 3 < \sqrt 6 - \sqrt 2$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \sqrt 7 - \sqrt 3 < \sqrt 6 - \sqrt 2 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt 7 + \sqrt 2 < \sqrt 6 + \sqrt 3 \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 7 + \sqrt 2 } \right)^2} < {\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right)^2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt {14} < 9 + 2\sqrt {18} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {14} < \sqrt {18} \begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.

Câu 8. Chứng minh bất đẳng thức: $\sqrt {\frac{{a + b}}{2}} \geqslant \frac{{\sqrt a + \sqrt b }}{2}$ với a, b ≥ 0

Hướng dẫn giải

Bình phương hai vế

Câu 9. Tính giá trị của biểu thức $A = \sqrt {7 + \sqrt {13} } - \sqrt {7 - \sqrt {13} }$

Hướng dẫn giải

Tính A² được A² = 2, suy ra A = $\sqrt 2$

Thầy Tú dạy toán